CN112380647A - 一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法 - Google Patents

一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法 Download PDF

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CN112380647A CN202011241843.2A CN202011241843A CN112380647A CN 112380647 A CN112380647 A CN 112380647A CN 202011241843 A CN202011241843 A CN 202011241843A CN 112380647 A CN112380647 A CN 112380647A
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magnetic
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王涛
潘永林
龚俊
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Abstract

一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，包括以下步骤：步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；步骤二：建立开槽加铜棒区域矢量磁位数学模型；步骤三：计算笼型转子棒电流；步骤四：计算内外转子的输出转矩；步骤五：分析、比较解析计算结果；本发明提供一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，根据表贴式径向充磁磁性齿轮模型结构特点，将解析模型划分为三个子区域，即永磁体区域、气隙区域和笼型转子棒区域，分别建立了各区域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，通过交界条件连接子区域方程式，用直接解析法求得气隙磁场和笼型转子棒磁场解析表达式。

Description

一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算 方法
技术领域
本发明涉及一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法。
背景技术
气隙磁场分析是磁性齿轮设计和性能计算的基础。表贴式笼型转子磁力齿轮二维气隙磁场可以采用数值法或解析法求解。有限元法适应性强、计算精度高，但建模和计算时间较长，在磁性齿轮的优化设计中并不方便。解析法物理概念清晰，解析函数式较直观地反映各参数与磁场分布的关系，参数调整方便，计算量小、速度快，有利于磁性齿轮的优化设计和结构调整。
在笼型转子磁力齿轮解析模型的分析中，最困难的工作之一就是如何准确计算内转子开槽加铜棒对气隙磁场强度的影响。在极坐标系下采用标量磁位法计算表贴式径向磁化磁性齿轮的气隙磁场，首先计算内转子永磁体未开槽时磁性齿轮气隙磁场，然后利用保角变换求得开槽加铜棒时磁性齿轮的气隙相对磁导函数，并与未开槽时的气隙磁场相乘，从而得到计及开槽加铜棒效应的二维气隙磁场。该方法存在槽口切向磁场分量被隐没的问题，影响麦克斯韦应力张量法计算电磁转矩的精度；而引入复数相对磁导函数，克服了切向气隙磁密分量被隐没的缺点，但非线性复磁导函数求解过程复杂、化时长。以上方法均采用无限深单槽模型，不考虑槽与槽之间的影响，不利于开槽加铜棒时气隙磁场强度的精确计算。还有人将求解区域划分为气隙区域和槽形子区域，利用两区域重叠部分的计算结果作为另一区域的边界条件，从而计算出开槽加铜棒时的气隙磁场。两区域磁场交替计算，经若干次迭代得到满足精度的结果。或者将标量磁位解析法、矢量磁位解析法与差分法相结合计算表贴式磁性齿轮的气隙磁场，或者将解析法和等参元法结合计算磁性齿轮的气隙磁场。解析法与数值法结合能精确地处理各种复杂槽型，计算速度快于数值法，但计算过程中需要反复迭代，因此计算时间仍较长，且计算精度要受到迭代精度影响。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，根据表贴式径向充磁磁性齿轮模型结构特点，将解析模型划分为三个子区域，即永磁体区域、气隙区域和笼型转子棒区域，分别建立了各区域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，通过交界条件连接子区域方程式，用直接解析法求得空载气隙磁场和槽内磁场解析表达式。以内转子为4对极，外转子为17对极，传动比为4:17的表贴式径向充磁笼型转子磁性齿轮为例，计算了磁性齿轮的气隙主磁场。在此基础上，利用麦克斯韦应力张量法计算了内外转子的输出转矩，与有限元法计算结果比较，证明了本方法的正确性。计算速度相较有限元法和解析数值结合法有明显提高。
为了实现上述目的，本发明的技术方案是：一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，包括以下步骤：
步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；
步骤二：建立开槽加铜棒区域矢量磁位数学模型；
步骤三：计算笼型转子棒电流；
步骤四：计算内外转子的输出转矩；
步骤五：分析、比较解析计算结果；
所述步骤一包括以下内容：
永磁体径向充磁，在二维极坐标系下只有z轴分量有效，永磁体产生的磁通密度表达式为：
Figure BDA0002768657600000021
其中：
Figure BDA0002768657600000022
式中，θ是磁极对角位移，
Figure BDA0002768657600000023
和
Figure BDA0002768657600000024
分别为外静止磁极对与内转子的初始角。μ0是真空磁导率，Br是永磁体的剩磁，αm是磁体的角宽度。在极坐标下气隙区域和永
磁体区域矢量磁位方程式为：
气隙区域II,IV的拉普拉斯方程
Figure BDA0002768657600000025
永磁体区域I，V泊松方程
Figure BDA0002768657600000026
由分离变量法得以上区域通解如下
Figure BDA0002768657600000031
Figure BDA0002768657600000032
Figure BDA0002768657600000033
其中：
Figure BDA0002768657600000034
Figure BDA0002768657600000035
其中：
Figure BDA0002768657600000036
所述步骤二包括以下列内容：
由于内转子中开槽加铜棒的缘故，磁性齿轮在运动过程中气隙磁场会发生变化，此时气隙磁场强度表达式为：
Figure BDA0002768657600000037
其中：
Figure BDA0002768657600000038
式中，PI和PO分别为内转子和外静止部分的磁极对数
此时，第i个槽子域和第r个内槽子域磁矢量势的通解分别为：
Figure BDA0002768657600000039
Figure BDA0002768657600000041
式中，
Figure BDA0002768657600000042
是常数，
Figure BDA0002768657600000043
和
Figure BDA0002768657600000044
分别是内槽和铁磁极的初始角，βi和βr分别是内槽和铁磁极的开槽角。
加铜棒后，铜棒区域b泊松方程
Figure BDA0002768657600000045
由分离变量法得到通解为：
Figure BDA0002768657600000046
其中
Figure BDA0002768657600000047
和
Figure BDA0002768657600000048
是常数
Figure BDA0002768657600000049
和βb分别表示转子杆和槽开口的初始位置。
由磁性齿轮几何模型和材料属性可知气隙和永磁体区域边界条件
Figure BDA00027686576000000410
其中
Figure BDA00027686576000000411
若θr≤θ≤θr+βr
f(θ)＝0,其他
Figure BDA00027686576000000412
其中
Figure BDA00027686576000000413
若θb≤θ≤θb+βb
g(θ)＝0,其他
由以上方程(4)、(5)、(6)、(7)、(14)及边界条件(15)、(16)可解得气隙和永磁体区域矢量磁位系数AIn、BIn、CIn、DIn、AIIn、BIIn、CIIn、DIIn和AVn、BVn、CVn、DVn表达式。由式(11)、(12)可知，在得到气隙区域矢量磁位AI(r,θ)后即可解出槽区域矢量磁位系数Ab(r,θ)，由此便能求解出开槽加铜棒区域磁场分布。
所述步骤三，计算内外转子输出转矩，选用麦克斯韦应力张量法计算内外转子转矩，只需要在气隙内部沿圆周进行一次线积分，理论上计算结果与积分路径无关；
Figure BDA0002768657600000051
Figure BDA0002768657600000052
其中
Figure BDA0002768657600000053
Figure BDA0002768657600000054
Figure BDA0002768657600000055
Figure BDA0002768657600000056
式中，Xn *和Zn *分别是Xn和Zn的复合共轭部分，
所述步骤四，计算笼型转子棒电流，需要对电流密度进行积分，然后求出每个转子线棒感应电流。计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。
转子棒中感应的电流值由以下公式给出的电流密度方程计算
Jb(r,θ)＝-jωrnσAb(r,θ) (23)
转子棒中的感应电流由以下公式确定
Figure BDA0002768657600000057
计算每个转子线棒感应电流的最终公式表示为
Figure BDA0002768657600000058
式中，σ是转子棒的导电率，α2＝-jσωrmμ0。J和Y分别是贝塞尔函数的第一种和第二种。
所述步骤五对一台内转子为4对极，外转子为17对极，传动比为4:17的表贴式径向充磁笼型转子磁性齿轮的气隙磁场和内外转子的输出转矩进行计算，计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。
本发明建立了表贴式径向磁化笼型转子磁性齿轮的磁位磁场解析式，并以实例磁性齿轮模型为例计算了其气隙主磁场和内外转子输出转矩，与有限元法计算结果相比较证明了本方法的正确性和有效性。该方法既保证了计算结果的准确性，又可很方便地获得气隙磁场和槽内磁场的解析解，为进一步研究与气隙磁场和槽内磁场有关的物理量提供了方便。本发明采用的矢量磁位解析法计算速度较快，可以适用于不同传动比的磁性齿轮的计算，具有普适性。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：
图1为本发明的方法步骤图；
图2为传动比为4:17的表贴式笼型转子磁性齿轮几何模型图；
图3a为内层气隙径向磁密波形图；
图3b为内层气隙切向磁密波形图；
图4a为外层气隙径向磁密波形图；
图4b为外层气隙切向磁密波形图；
图5为内外转子输出转矩波形图。
具体实施方式
如图1所示，一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，包括以下步骤：
步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；
步骤二：建立开槽加铜棒区域矢量磁位数学模型；
步骤三：计算笼型转子棒电流；
步骤四：计算内外转子的输出转矩；
步骤五：分析、比较解析计算结果；
所述步骤一包括以下内容：
永磁体径向充磁，在二维极坐标系下只有z轴分量有效，永磁体产生的磁通密度表达式为：
Figure BDA0002768657600000061
其中：
Figure BDA0002768657600000062
式中，θ是磁极对角位移，
Figure BDA0002768657600000063
和
Figure BDA0002768657600000064
分别为外静止磁极对与内转子的初始角。μ0是相对磁导率，Br是永磁体的剩磁，αm是磁体的角宽度。在极坐标下气隙区域和永磁体区域矢量磁位方程式为：
气隙区域II,IV的拉普拉斯方程
Figure BDA0002768657600000071
永磁体区域I，V泊松方程
Figure BDA0002768657600000072
由分离变量法得以上区域通解如下
Figure BDA0002768657600000073
Figure BDA0002768657600000074
Figure BDA0002768657600000075
其中：
Figure BDA0002768657600000076
Figure BDA0002768657600000077
其中：
Figure BDA0002768657600000078
所述步骤二包括以下列内容：
由于内转子中开槽加铜棒的缘故，磁性齿轮在运动过程中气隙磁场会发生变化，此时气隙磁场强度表达式为：
Figure BDA0002768657600000079
其中：
Figure BDA0002768657600000081
式中，PI和PO分别为内转子和外静止部分的磁极对数
此时，第i个槽子域和第r个内槽子域磁矢量势的通解分别为：
Figure BDA0002768657600000082
Figure BDA0002768657600000083
式中，
Figure BDA0002768657600000084
是常数，
Figure BDA0002768657600000085
和
Figure BDA0002768657600000086
分别是内槽和铁磁极的初始角，βi和βr分别是内槽和铁磁极的开槽角。
加铜棒后，铜棒区域b泊松方程
Figure BDA0002768657600000087
由分离变量法得到通解为：
Figure BDA0002768657600000088
其中
Figure BDA0002768657600000089
和
Figure BDA00027686576000000810
是常数
Figure BDA00027686576000000811
和βb分别表示转子杆和槽开口的初始位置。
由磁性齿轮几何模型和材料属性可知气隙和永磁体区域边界条件
Figure BDA00027686576000000812
其中
Figure BDA00027686576000000813
若θr≤θ≤θr+βr
f(θ)＝0,其他
Figure BDA00027686576000000814
其中
Figure BDA0002768657600000091
若θb≤θ≤θb+βb
g(θ)＝0,其他
由以上方程(4)、(5)、(6)、(7)、(14)及边界条件(15)、(16)可解得气隙和永磁体区域矢量磁位系数AIn、BIn、CIn、DIn、AIIn、BIIn、CIIn、DIIn和AVn、BVn、CVn、DVn表达式。由式(11)、(12)可知，在得到气隙区域矢量磁位AI(r,θ)后即可解出槽区域矢量磁位系数Ab(r,θ)，由此便能求解出开槽加铜棒区域磁场分布。
所述步骤三，计算内外转子输出转矩，选用麦克斯韦应力张量法计算内外转子转矩，只需要在气隙内部沿圆周进行一次线积分，理论上计算结果与积分路径无关；
Figure BDA0002768657600000092
Figure BDA0002768657600000093
其中
Figure BDA0002768657600000094
Figure BDA0002768657600000095
Figure BDA0002768657600000096
Figure BDA0002768657600000097
式中，Xn *和Zn *分别是Xn和Zn的复合共轭部分，
所述步骤四，计算笼型转子棒电流，需要对电流密度进行积分，然后求出每个转子线棒感应电流。计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。
转子棒中感应的电流值由以下公式给出的电流密度方程计算
Jb(r,θ)＝-jωrnσAb(r,θ) (23)
转子棒中的感应电流由以下公式确定
Figure BDA0002768657600000098
计算每个转子线棒感应电流的最终公式表示为
Figure BDA0002768657600000101
式中，σ是转子棒的导电率，α2＝-jσωrmμ0。J和Y分别是贝塞尔函数的第一种和第二种。
所述步骤五对一台内转子为4对极，外转子为17对极，传动比为4:17的表贴式径向充磁笼型转子磁性齿轮的气隙磁场和内外转子的输出转矩进行计算，计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。
如图2所示，将解析模型划分为三个子区域，即永磁体区域、气隙区域和转子棒区域，分别建立了各区域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，通过交界条件连接子区域方程式，用直接解析法求得气隙磁场和槽内磁场解析表达式。永磁体区域包括内永磁体3及外永磁体7，气隙区包括内气隙4及外气隙6，转子棒区为铜棒2，还包括内转子1及调磁环5。
如图3a～4b所示，磁场和内外转子转矩的计算结果及比较如图所示，磁性齿轮基本数据为内转子内径40mm，外径60mm,外转子内径97mm,外转子外径107mm，气隙厚度1mm，永磁体厚度为10mm，调磁环厚度为15mm，轴向长度40mm，内转子开槽深度为5mm，开槽个数为8，极弧系数αp＝0.95，剩磁Br＝1.0T。计算中气隙区域磁场谐波次数n取150，槽区域磁场谐波次数k取50。
如图5所示，为内外转子转矩一个周期的变化波形，图中曲线和点分别为解析法计算结果和有限元法计算结果。采用麦克斯韦应力张量法计算所得的齿槽定位转矩较有限元法计算结果稍小，但波形变化趋势基本一致，也证明了本发明所采用的解析法是正确的和有效的。
本发明建立了表贴式径向磁化笼型转子磁性齿轮的磁位磁场解析式，并以实例磁性齿轮模型为例计算了其空载气隙主磁场和内外转子输出转矩，与有限元法计算结果相比较证明了本方法的正确性和有效性。该方法既保证了计算结果的准确性，又可很方便地获得气隙磁场和槽内磁场的解析解，为进一步研究与气隙磁场和槽内磁场有关的物理量提供了方便。本发明采用的矢量磁位解析法计算速度较快，可以适用于各类磁性齿轮的转矩计算，具有普适性。

Claims (6)

1.一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；
步骤二：建立开槽加铜棒区域矢量磁位数学模型；
步骤三：计算笼型转子棒电流；
步骤四：计算内外转子的输出转矩；
步骤五：分析、比较解析计算结果。
2.根据权利要求1所述一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤一包括以下内容：
永磁体径向充磁，在二维极坐标系下只有z轴分量有效，永磁体产生的磁通密度表达式为：
Figure FDA0002768657590000011
其中：
Figure FDA0002768657590000012
式中，θ是磁极对角位移，
Figure FDA0002768657590000013
和
Figure FDA0002768657590000014
分别为外静止磁极对与内转子的初始角。μ0是真空磁导率，Br是永磁体的剩磁，αm是磁体的角宽度，在极坐标下气隙区域和永磁体区域矢量磁位方程式为：
气隙区域II,IV的拉普拉斯方程
Figure FDA0002768657590000015
永磁体区域I，V泊松方程
Figure FDA0002768657590000016
由分离变量法得以上区域通解如下
Figure FDA0002768657590000017
Figure FDA0002768657590000021
Figure FDA0002768657590000022
其中：
Figure FDA0002768657590000023
Figure FDA0002768657590000024
其中：
Figure FDA0002768657590000025
3.根据权利要求1所述一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤二包括以下列内容：
由于内转子中开槽加铜棒的缘故，磁性齿轮在运动过程中气隙磁场会发生变化，此时气隙磁场强度表达式为：
Figure FDA0002768657590000026
其中：
Figure FDA0002768657590000027
ωrn＝(posωsn) (10)
式中，PI和PO分别为内转子和外静止部分的磁极对数
此时，第i个槽子域和第r个内槽子域磁矢量势的通解分别为：
Figure FDA0002768657590000028
Figure FDA0002768657590000031
式中，
Figure FDA0002768657590000032
是常数，
Figure FDA0002768657590000033
和
Figure FDA0002768657590000034
分别是内槽和铁磁极的初始角，βi和βr分别是内槽和铁磁极的开槽角，
加铜棒后，铜棒区域b泊松方程
Figure FDA0002768657590000035
由分离变量法得到通解为：
Figure FDA0002768657590000036
其中
Figure FDA0002768657590000037
和
Figure FDA0002768657590000038
是常数
Figure FDA0002768657590000039
和βb分别表示转子杆和槽开口的初始位置。
由磁性齿轮几何模型和材料属性可知气隙和永磁体区域边界条件
Figure FDA00027686575900000310
其中
Figure FDA00027686575900000311
若θr≤θ≤θr+βr
f(θ)＝0,其他
Figure FDA00027686575900000312
其中
Figure FDA00027686575900000313
若θb≤θ≤θb+βb。
g(θ)＝0,其他。
4.根据权利要求1所述一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤三，计算内外转子输出转矩，选用麦克斯韦应力张量法计算内外转子转矩，只需要在气隙内部沿圆周进行一次线积分，理论上计算结果与积分路径无关；
Figure FDA0002768657590000041
Figure FDA0002768657590000042
其中
Figure FDA0002768657590000043
Figure FDA0002768657590000044
Figure FDA0002768657590000045
Figure FDA0002768657590000046
式中，Xn *和Zn *分别是Xn和Zn的复合共轭部分。
5.根据权利要求1所述一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤四，计算笼型转子棒电流，需要对电流密度进行积分，然后求出每个转子线棒感应电流。计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较，
转子棒中感应的电流值由以下公式给出的电流密度方程计算
Jb(r,θ)＝-jωrnσAb(r,θ) (23)
转子棒中的感应电流由以下公式确定
Figure FDA0002768657590000047
计算每个转子线棒感应电流的最终公式表示为
Figure FDA0002768657590000048
式中，σ是转子棒的导电率，α2＝-jσωrmμ0，J和Y分别是贝塞尔函数的第一种和第二种。
6.根据权利要求1所述一种基于解析法的笼型转子磁力齿轮磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤五对一台内转子为4对极，外转子为17对极，传动比4:17的笼型转子磁性齿轮的气隙磁场和内外转子的输出转矩进行计算，计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。
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