CN111812515A - 基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算 - Google Patents

基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算 Download PDF

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CN111812515A
CN111812515A CN202010689444.6A CN202010689444A CN111812515A CN 111812515 A CN111812515 A CN 111812515A CN 202010689444 A CN202010689444 A CN 202010689444A CN 111812515 A CN111812515 A CN 111812515A
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lithium ion
data set
ion battery
xgboost model
training
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宋树祥
潘凯
费陈
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    • GPHYSICS
    • G01MEASURING; TESTING
    • G01RMEASURING ELECTRIC VARIABLES; MEASURING MAGNETIC VARIABLES
    • G01R31/00Arrangements for testing electric properties; Arrangements for locating electric faults; Arrangements for electrical testing characterised by what is being tested not provided for elsewhere
    • G01R31/36Arrangements for testing, measuring or monitoring the electrical condition of accumulators or electric batteries, e.g. capacity or state of charge [SoC]
    • G01R31/367Software therefor, e.g. for battery testing using modelling or look-up tables
    • GPHYSICS
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Abstract

本发明涉及锂离子电池预测领域,是基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,包括以下步骤:将锂离子电池放电的数据划分为训练数据集和测试数据集,将训练数据集数据集中的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型;设置XGBoost模型的参数;利用XGBoost模型对训练数据集进行训练;判定训练数据集的预测SOC与训练数据集真实的SOC误差,若误差最小,设置的XGBoost模型参数为最优参数;并将测试数据集中的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,利用得到XGBoost模型的最优参数对测试数据集进行预测,获得测试数据的预测SOC;提高估算精度和鲁棒性。

Description

基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算
技术领域
本发明涉及到锂离子电池预测领域,更具体的说,是涉及基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算。
背景技术
锂离子电池具有高效率,长寿命,大容量,无记忆效应,环境友好性而被广泛应用于新能源电动汽车上。不仅如此,锂离子电池还被广泛应用于手机、各种便携式信息处理终端等高科技产品中,然而锂离子电池的使用寿命和锂离子电池的使用、推广密切相关。荷电状态(SOC)是锂离子电池的一个至关重要的指标,它表示当前状态下电池的剩余电量。高精度锂离子电池的SOC估算,可避免电池过充电,过放电和过热,从而延长电池的使用寿命,但是锂离子电池的充放电过程是一个极其复杂的电化学反应过程,具有非线性和时变性且对温度和老化极度敏感。因此,锂离子电池的SOC精确而又稳健地估算显得异常困难。
针对上述问题,目前对锂离子电池的SOC估算有库仑计数法,开路电压法,卡尔曼滤波法,内阻法等。库仑计数法是一种原始的方法,具有简单、可靠的优点,但是该方法比较依赖初始的荷电状态,容易忽略充放电过程中电池内部的温度、内阻等因素的变化,存在初始误差和累积误差效应。开路电压法估算结果精确且易于操作,但是该方法必须要求电池停止工作几个小时甚至几十个小时,不易于在线估计SOC。卡尔曼滤波法已广泛应用于SOC的估算,但是由于充放电过程中温度的变化和电池系统的高度非线性,导致其估算结果不理想。内阻法由于电池内阻不易测量,导致无法建立内阻与SOC之间的关系,所以没有普及应用。
发明内容
本发明需要解决的技术问题是提供一种基于XGBoost(eXtreme GradientBoosting)模型的锂离子电池荷电状态预测方法,既解决了预测过程中锂离子电池的非线性和时变性且对温度和老化极度敏感等问题,也解决了预测精度低等问题,相对于上述方法,XGBoost在目标函数的每轮迭代中都加入了正则项,从而控制模型的复杂度,防止过拟合。XGBoost对目标函数进行了二阶泰勒展开,可以支持自定义代价函数;XGBoost对每个特征进行分块(block)并排序,使得在寻找最佳分割点时能够并行化计算,同时,通过设置合理的block的大小,充分利用了CPU缓存进行读取加速,数据读取的速度更快。
为解决上述技术问题,本发明所采用的技术方案是:一种基于XGBoost的锂离子荷电状态预测方法,首先选取来自于NASA艾姆斯研究中心的锂离子电池放电数据,对其进行数据预处理,计算出真实的SOC,并将数据集中的电压、电流、温度作为特征输入,来描述锂离子电池的放电过程,然后将数据集划分为训练数据集和测试数据集,对XGBoost的参数进行设置,利用训练数据集对XGBoost模型进行训练,直至输出最优参数,结束训练,最后利用该模型的最优参数对测试集数据进行预测,本发明通过XGBoost对训练数据集进行训练,得到最优参数,利用训练好的XGBoost模型对测试集数据进行预测,本发明有更高的预测精度,保证了SOC预测的精确性和可靠性。具体技术内容如下。
基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,包括以下步骤:
步骤A,数据预处理:将锂离子电池放电的数据划分为训练数据集和测试数据集,得到训练数据集真实的SOC,并将训练数据集数据集中的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,来描述锂离子电池的放电过程;
步骤B,设置XGBoost模型参数:设置XGBoost模型的参数;
步骤C,训练XGBoost模型:利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,获得训练数据集的预测SOC;
步骤D,输出最优参数:判定训练数据集的预测SOC与训练数据集真实的SOC误差,若误差不是最小,则返回步骤B重新设置各项参数,再进行步骤C利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,重新拟合出训练数据集的预测SOC;若误差最小,设置的XGBoost模型参数为最优参数;
步骤E,测试XGBoost模型:并将测试数据集中的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,利用得到XGBoost模型的最优参数对测试数据集进行预测,获得测试数据的预测SOC。
进一步地,所述的锂离子电池放电数据采用NASA艾姆斯研究中心的稳态下锂离子电池的充放电数据,有B0005、B0006、B0007、B0018、B0029等5组。
进一步地,所述的训练数据集为1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第9组至第14组的放电数据集;所述的测试数据集为1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第15组的放电数据集。
进一步地,所述的训练数据集为2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第8组至第12组的放电数据集;所述的测试数据集为2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第13组的放电数据集。
进一步地,真实的SOC通过以下方式获得:
Figure BDA0002588765010000041
其中,剩余容量为锂离子电池在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A,在2A的恒定电流下放电至电压降到2.7V时的容量;
额定容量为锂离子电池在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A时的容量。
进一步地,所述的电压、电流、温度,是锂离子电池稳态放电过程中真实的电压、电流、温度。
进一步地,设置XGBoost模型的参数包括:
eta表示学习率;
max_depth表示模型中树的最大深度;
min_child_weight表示模型中最小叶子权重和;
seed表示随机种子数;
colsample_bytree表示每棵树随机采样的列数占比;
gamma表示惩罚项和叶子节点结合项;
max_leaf_nodes表示树上叶子节点数;
n_tree表示模型中树的数量。
进一步地,所述的利用XGBoost模型获得预测的SOC的具体步骤如下:
D1、建立树的模型
Figure BDA0002588765010000051
其中,
Figure BDA0002588765010000052
是模型在第t轮的预测值;
D2、构建目标函数
Figure BDA0002588765010000053
其中,
Figure BDA0002588765010000054
为损失函数,yi表示真实值,
Figure BDA0002588765010000055
表示预测值。
Figure BDA0002588765010000056
正则项为:
Figure BDA0002588765010000057
其中,T表示叶子节点的个数,W表示叶子节点的分数,γ可以控制叶子节点的个数,γ可以控制叶子节点的分数;
D3、训练目标函数
将目标函数进行二阶泰勒展开:
Figure BDA0002588765010000061
其中,gi和hi被定义为:
Figure BDA0002588765010000062
将常数项移除,得到第t步的目标函数:
Figure BDA0002588765010000063
新的目标函数可以定义为:
Figure BDA0002588765010000064
其中,
Figure BDA0002588765010000065
可以计算出叶节点j的最优权重
Figure BDA0002588765010000066
Figure BDA0002588765010000067
最佳的目标函数解obj(*)
Figure BDA0002588765010000068
由于不可能枚举所有可能的树的结构q,改为使用贪婪算法迭代地将分支添加到树中,计算相应的增益:
Figure BDA0002588765010000069
至此,基于XGBoost模型的锂离子电池荷电状态预测训练完毕。
由于采用上述方案,本发明取得的技术进步是:
1、本发明提出的基于XGBoost的锂离子荷电状态预测方法,充分考虑到锂离子电池的锂离子电池的充放电过程是一个极其复杂的电化学反应过程,具有非线性和时变性且对温度和老化极度敏感,不易预测荷电状态且预测精度低等问题,将电压、电流、温度作为特征输入,来描述锂离子电池的放电过程,将SOC作为输出,建立XGBoost模型,解决了预测过程中锂离子电池的非线性和时变性且对温度和老化极度敏感等问题。同时,提高估算精度和鲁棒性;
2、本发明提出的基于XGBoost的锂离子荷电状态预测方法,在目标函数的每轮迭代中都加入了正则项,从而控制模型的复杂度,防止过拟合。XGBoost对目标函数进行了二阶泰勒展开,可以支持自定义代价函数;XGBoost对每个特征进行分块(block)并排序,使得在寻找最佳分割点时能够并行化计算,同时,通过设置合理的block的大小,充分利用了CPU缓存进行读取加速,数据读取的速度更快。
附图说明
图1是本发明XGBoost模型预测锂离子荷电状态的系统流程图;
图2是本发明基于XGBoost的锂离子荷电状态预测方法的算法实施例1和实施例2的放电数据图;
图3是本发明基于XGBoost的锂离子荷电状态预测方法的算法流程图。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明做进一步详细的说明。
实施例1
如图1所示,基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,包括以下步骤。
步骤A,数据预处理:将NASA艾姆斯研究中心的稳态下锂离子电池放电数据划分为训练数据集和测试数据集,训练数据集为1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第9组至第14组的放电数据集,测试数据集为1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第15组的放电数据集;
得到训练数据集真实的SOC:
Figure BDA0002588765010000081
其中,剩余容量为锂离子电池B0006数据集中第9组至第14组在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A,在2A的恒定电流下放电至电压降到2.7V时的容量;额定容量为锂离子电池B0006数据集中第9组至第14组在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A时的容量;
将测试数据集1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第9组至第14组的稳态放电过程中真实的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,来描述锂离子电池的放电过程。
步骤B,设置XGBoost模型参数:
eta表示学习率;
max_depth表示模型中树的最大深度;
min_child_weight表示模型中最小叶子权重和;
seed表示随机种子数;
colsample_bytree表示每棵树随机采样的列数占比;
gamma表示惩罚项和叶子节点结合项;
max_leaf_nodes表示树上叶子节点数;
n_tree表示模型中树的数量。
步骤C,训练XGBoost模型:利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,获得训练数据集的预测SOC;预测的SOC的具体步骤如下:
D1、建立树的模型
Figure BDA0002588765010000091
其中,
Figure BDA0002588765010000092
是模型在第t轮的预测值;
D2、构建目标函数
Figure BDA0002588765010000093
其中,
Figure BDA0002588765010000094
为损失函数,yi表示真实值,
Figure BDA0002588765010000095
表示预测值。
Figure BDA0002588765010000096
正则项为:
Figure BDA0002588765010000097
其中,T表示叶子节点的个数,W表示叶子节点的分数,γ可以控制叶子节点的个数,γ可以控制叶子节点的分数;
D3、训练目标函数
将目标函数进行二阶泰勒展开:
Figure BDA0002588765010000101
其中,gi和hi被定义为:
Figure BDA0002588765010000102
将常数项移除,得到第t步的目标函数:
Figure BDA0002588765010000103
新的目标函数可以定义为:
Figure BDA0002588765010000104
其中,
Figure BDA0002588765010000105
可以计算出叶节点j的最优权重
Figure BDA0002588765010000106
Figure BDA0002588765010000107
最佳的目标函数解obj(*)
Figure BDA0002588765010000108
由于不可能枚举所有可能的树的结构q,改为使用贪婪算法迭代地将分支添加到树中,计算相应的增益:
Figure BDA0002588765010000109
步骤D,输出最优参数:判定训练数据集的预测SOC与训练数据集真实的SOC误差,若误差不是最小,则返回步骤B重新设置各项参数,再进行步骤C利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,重新拟合出训练数据集的预测SOC;若误差最小,设置的XGBoost模型参数为最优参数。
步骤E,测试XGBoost模型:将测试数据集1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第15组的稳态放电过程中真实的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,利用步骤D得到XGBoost模型的最优参数对测试数据集进行预测,获得测试数据的预测SOC。
测试数据集得到的预测的SOC的具体步骤如下:
D1、建立树的模型
Figure BDA0002588765010000111
其中,
Figure BDA0002588765010000112
是模型在第t轮的预测值;
D2、构建目标函数
Figure BDA0002588765010000113
其中,
Figure BDA0002588765010000114
为损失函数,yi表示真实值,
Figure BDA0002588765010000115
表示预测值。
Figure BDA0002588765010000116
正则项为:
Figure BDA0002588765010000117
其中,T表示叶子节点的个数,W表示叶子节点的分数,γ可以控制叶子节点的个数,γ可以控制叶子节点的分数;
D3、训练目标函数
将目标函数进行二阶泰勒展开:
Figure BDA0002588765010000121
其中,gi和hi被定义为:
Figure BDA0002588765010000122
将常数项移除,得到第t步的目标函数:
Figure BDA0002588765010000123
新的目标函数可以定义为:
Figure BDA0002588765010000124
其中,
Figure BDA0002588765010000125
可以计算出叶节点j的最优权重
Figure BDA0002588765010000126
Figure BDA0002588765010000127
最佳的目标函数解obj(*)
Figure BDA0002588765010000128
由于不可能枚举所有可能的树的结构q,改为使用贪婪算法迭代地将分支添加到树中,计算相应的增益:
Figure BDA0002588765010000129
至此,基于XGBoost模型的锂离子电池荷电状态预测训练完毕。
实施例2
如图1所示,基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,包括以下步骤。
步骤A,数据预处理:将NASA艾姆斯研究中心的稳态下锂离子电池放电数据划分为训练数据集和测试数据集,训练数据集为2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第8组至第12组的放电数据集;所述的测试数据集为2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第13组的放电数据集;
得到训练数据集真实的SOC:
Figure BDA0002588765010000131
其中,剩余容量为锂离子电池2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第8组至第12组在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A,在2A的恒定电流下放电至电压降到2.7V时的容量;额定容量为锂离子电池2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第8组至第12组在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A时的容量;
将测试数据集2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第8组至第12组的稳态放电过程中真实的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,来描述锂离子电池的放电过程。
步骤B,设置XGBoost模型参数:
eta表示学习率;
max_depth表示模型中树的最大深度;
min_child_weight表示模型中最小叶子权重和;
seed表示随机种子数;
colsample_bytree表示每棵树随机采样的列数占比;
gamma表示惩罚项和叶子节点结合项;
max_leaf_nodes表示树上叶子节点数;
n_tree表示模型中树的数量。
步骤C,训练XGBoost模型:利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,获得训练数据集的预测SOC;预测的SOC的具体步骤如下:
D1、建立树的模型
Figure BDA0002588765010000141
其中,
Figure BDA0002588765010000142
是模型在第t轮的预测值;
D2、构建目标函数
Figure BDA0002588765010000143
其中,
Figure BDA0002588765010000144
为损失函数,yi表示真实值,
Figure BDA0002588765010000145
表示预测值。
Figure BDA0002588765010000146
正则项为:
Figure BDA0002588765010000147
其中,T表示叶子节点的个数,W表示叶子节点的分数,γ可以控制叶子节点的个数,γ可以控制叶子节点的分数;
D3、训练目标函数
将目标函数进行二阶泰勒展开:
Figure BDA0002588765010000151
其中,gi和hi被定义为:
Figure BDA0002588765010000152
将常数项移除,得到第t步的目标函数:
Figure BDA0002588765010000153
新的目标函数可以定义为:
Figure BDA0002588765010000154
其中,
Figure BDA0002588765010000155
可以计算出叶节点j的最优权重
Figure BDA0002588765010000156
Figure BDA0002588765010000157
最佳的目标函数解obj(*)
Figure BDA0002588765010000158
由于不可能枚举所有可能的树的结构q,改为使用贪婪算法迭代地将分支添加到树中,计算相应的增益:
Figure BDA0002588765010000159
步骤D,输出最优参数:判定训练数据集的预测SOC与训练数据集真实的SOC误差,若误差不是最小,则返回步骤B重新设置各项参数,再进行步骤C利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,重新拟合出训练数据集的预测SOC;若误差最小,设置的XGBoost模型参数为最优参数。
步骤E,测试XGBoost模型:将测试数据集2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第13组的稳态放电过程中真实的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,利用步骤D得到XGBoost模型的最优参数对测试数据集进行预测,获得测试数据的预测SOC。
测试数据集得到的预测的SOC的具体步骤如下:
D1、建立树的模型
Figure BDA0002588765010000161
其中,
Figure BDA0002588765010000162
是模型在第t轮的预测值;
D2、构建目标函数
Figure BDA0002588765010000163
其中,
Figure BDA0002588765010000164
为损失函数,yi表示真实值,
Figure BDA0002588765010000165
表示预测值。
Figure BDA0002588765010000166
正则项为:
Figure BDA0002588765010000167
其中,T表示叶子节点的个数,W表示叶子节点的分数,γ可以控制叶子节点的个数,γ可以控制叶子节点的分数;
D3、训练目标函数
将目标函数进行二阶泰勒展开:
Figure BDA0002588765010000171
其中,gi和hi被定义为:
Figure BDA0002588765010000172
将常数项移除,得到第t步的目标函数:
Figure BDA0002588765010000173
新的目标函数可以定义为:
Figure BDA0002588765010000174
其中,
Figure BDA0002588765010000175
可以计算出叶节点j的最优权重
Figure BDA0002588765010000176
Figure BDA0002588765010000177
最佳的目标函数解obj(*)
Figure BDA0002588765010000178
由于不可能枚举所有可能的树的结构q,改为使用贪婪算法迭代地将分支添加到树中,计算相应的增益:
Figure BDA0002588765010000179
至此,基于XGBoost模型的锂离子电池荷电状态预测训练完毕。
实施例1和实施例2中的电压、电流、温度和真实的SOC如图2所示;如图3所示,所述XGBoost模型的输入量包括电压、电流、温度,利用训练好的XGBoost模型对测试集数据进行预测输出量为预测的SOC,本发明有更高的预测精度,保证了SOC预测的精确性和可靠性。

Claims (8)

1.基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,包括以下步骤:
步骤A,数据预处理:将锂离子电池放电的数据划分为训练数据集和测试数据集,得到训练数据集真实的SOC,并将训练数据集数据集中的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型;
步骤B,设置XGBoost模型参数:设置XGBoost模型的参数;
步骤C,训练XGBoost模型:利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,获得训练数据集的预测SOC;
步骤D,输出最优参数:判定训练数据集的预测SOC与训练数据集真实的SOC误差,若误差不是最小,则返回步骤B重新设置各项参数,再进行步骤C利用XGBoost模型对训练数据集进行训练,重新拟合出训练数据集的预测SOC;若误差最小,设置的XGBoost模型参数为最优参数;
步骤E,测试XGBoost模型:并将测试数据集中的电压、电流、温度作为特征输入XGBoost模型,利用得到XGBoost模型的最优参数对测试数据集进行预测,获得测试数据的预测SOC。
2.根据权利要求1所述的基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,所述的锂离子电池放电数据采用NASA艾姆斯研究中心的稳态下锂离子电池的充放电数据。
3.根据权利要求1所述的基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,所述的训练数据集为1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第9组至第14组的放电数据集;所述的测试数据集为1C放电倍率下的锂离子电池B0006数据集中第15组的放电数据集。
4.根据权利要求1所述的基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,所述的训练数据集为2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第8组至第12组的放电数据集;所述的测试数据集为2C放电倍率下的锂离子电池B0029数据集中第13组的放电数据集。
5.根据权利要求1所述的基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,真实的SOC通过以下方式获得:
Figure FDA0002588764000000021
其中,剩余容量为锂离子电池在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A,在2A的恒定电流下放电至电压降到2.7V时的容量;
额定容量为锂离子电池在1.5A恒定电流模式下达到4.2的电压后,在4.2恒定电压水平下继续充电至电流降至2A时的容量。
6.根据权利要求1所述的基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,所述的电压、电流、温度,是锂离子电池稳态放电过程中真实的电压、电流、温度。
7.根据权利要求1所述的基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,设置XGBoost模型的参数包括:
eta表示学习率;
max_depth表示模型中树的最大深度;
min_child_weight表示模型中最小叶子权重和;
seed表示随机种子数;
colsample_bytree表示每棵树随机采样的列数占比;
gamma表示惩罚项和叶子节点结合项;
max_leaf_nodes表示树上叶子节点数;
n_tree表示模型中树的数量。
8.根据权利要求1所述的基于XGboost模型的锂离子电池荷电状态估算,其特征在于,所述的利用XGBoost模型获得预测的SOC的具体步骤如下:
D1、建立树的模型
Figure FDA0002588764000000031
其中,
Figure FDA0002588764000000032
是模型在第t轮的预测值;
D2、构建目标函数
Figure FDA0002588764000000033
其中,
Figure FDA0002588764000000034
为损失函数,yi表示真实值,
Figure FDA0002588764000000035
表示预测值。
Figure FDA0002588764000000036
正则项为:
Figure FDA0002588764000000037
其中,T表示叶子节点的个数,W表示叶子节点的分数,γ可以控制叶子节点的个数,γ可以控制叶子节点的分数;
D3、训练目标函数
将目标函数进行二阶泰勒展开:
Figure FDA0002588764000000041
其中,gi和hi被定义为:
Figure FDA0002588764000000042
将常数项移除,得到第t步的目标函数:
Figure FDA0002588764000000043
新的目标函数可以定义为:
Figure FDA0002588764000000044
其中,
Figure FDA0002588764000000045
可以计算出叶节点j的最优权重
Figure FDA0002588764000000046
Figure FDA0002588764000000047
最佳的目标函数解obj(*)
Figure FDA0002588764000000048
由于不可能枚举所有可能的树的结构q,改为使用贪婪算法迭代地将分支添加到树中,计算相应的增益:
Figure FDA0002588764000000049
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