CN110020498B - 曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种曲线钢‑混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法，本发明提出了曲线钢‑混凝土组合箱型梁考虑翘曲、畸变及滑移的理论模型。模型中有限元划分的每单元包含22个自由度，分别包括曲梁的径向位移、竖向位移、切向位移、扭转角、畸变角及钢梁与混凝土板交界面的相对滑移等。通过虚功原理构造了曲线钢‑混凝土组合箱型梁的平衡方程，并给出了曲线钢‑混凝土组合箱型梁的刚度矩阵及等效荷载矩阵。

Description

曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法

技术领域

本发明涉及桥梁技术领域，具体说是一种曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法。

背景技术

曲线钢-混凝土组合箱型梁具有自重轻、跨越能力强、抗扭刚度大等优点，目前已逐渐广泛应用于城市公路立交桥和匝道桥的建设中。与直线梁相比，曲线组合箱型梁的整体质心并不位于支座连线上，故在自重和车辆等竖向荷载作用下具有典型的弯扭耦合受力特性。结构受扭时截面会发生明显的纵向翘曲变形和畸变变形，同时界面还会发生特有的纵向和横向滑移行为。因而曲线组合箱型梁的受力特性较直线组合梁复杂很多。

进行曲线组合梁的数值计算时，采用精细有限元模型(壳和实体单元)固然可以准确考虑组合梁的空间受力行为，但其建模复杂、计算效率低，因而在曲线组合梁的设计分析中一维杆系有限元模型更为适用。基本思路为在Vlasov梁^[1]基础上引入表征扭转翘曲、畸变翘曲等效应的自由度以实现弯扭耦合空间效应计算的目的。目前关于曲线组合梁的研究多集中于曲线I型组合梁，在杆系模型方面，Giussani和Mola^[2]研究了曲线组合钢-混凝土桥梁的长期性能。通过假设钢梁与混凝土板之间的完美结合并将截面视为薄壁，研究了组合截面中产生的应变和应力的时间演变以及相应的结构行为；Chang和White^[3]研究了组合曲线梁桥设计分析的一些建模策略的质量和局限性，研究范围从线梁分析到三维有限元方法。讨论了几个关键的建模考虑因素，如梁腹板变形，横框架的理想化，支撑和承载高度，以及梁和板之间的位移兼容性等；Erkmen和Bradford^[4]对平面内弯曲的钢-混凝土组合梁进行数值分析，提出了一种新型的三维弹性拉格朗日公式，在应变表达式的推导中考虑了几何非线性，研究了初曲率、几何非线性及界面滑移对组合梁的影响；之后Erkmen和Bradford^[5-6]在上述研究的基础上采用粘弹性Maxwell-Weichert模型和Wiechert模型考虑了混凝土的收缩徐变效应，提出了曲线组合梁考虑混凝土长期效应的一维杆系模型；Adamakosa etal^[7]提出了梁式结构单元的空间系统来模拟组合梁的新方法，用于曲线梁的建模。采用实例说明了所提出的模型的建立过程，并将其结果与相应的有限元模型进行了比较；Liuetal^[8]研究了钢-混凝土组合梁在空间任意弯曲的非线性时变分析的数值公式，分析了混凝土收缩徐变、几何非线性、初曲率及钢与混凝土板之间相互作用的影响。在试验研究方面，Thevendran et al^[9]通过5组实际尺寸的组合梁模型试验对平面曲线钢-混凝土组合梁的极限承载性能进行了试验研究，试验结果表明随着跨径与曲率半径的比值的增大，组合梁的承载力逐渐减小；Tan和Uy^[10]通过在8组曲线组合梁跨中施加集中荷载的方式研究了曲线组合钢-混凝土梁的极限承载力；Liu et al^[11]进行了一个简单的钢筋混凝土组合梁的徐变和收缩行为的综合实验研究，试验观察表明，混凝土构件的徐变和收缩行为对曲线组合梁的长期性能有显著影响；Lin和Yoda^[12-13]通过实验对比研究了橡胶-乳胶砂浆、不同类型的剪切连接件及曲率对连续钢-混凝土组合梁负弯矩区开裂后非弹性的影响并建立了能分析负弯矩区的三维有限元模型。

相较于曲线I型组合梁，曲线组合箱型梁的受力特性和数值计算模型的研究则相对较少。Segura和Armengaud^[14]提出了计算弯曲组合梁在弯曲荷载作用下产生的正应力和剪应力的分析方法，给出了相应的计算公式；Piovan和Cortinez^[15]提出了一种新的理论模型，用于开口及闭口截面的组合薄壁曲梁的广义线性分析；Nie和Zhu^[16]提出了一种用于组合箱梁桥设计分析的梁格模型以用于曲线组合箱梁桥的设计分析。然而上述研究均未考虑曲线组合梁的双向界面滑移，此外，文献[17]针对曲线钢箱梁的扭转和畸变行为进行了大量理论分析，研究发现扭转翘曲和畸变翘曲应力在总应力中的所占比例最多可达34％，可见对于曲线组合箱梁桥而言，其约束扭转和畸变效应完全不可忽视。

发明内容

针对现有技术中存在的缺陷，本发明在上述研究的基础上通过增加节点位移未知量，提出了一种22个自由度，能同时考虑约束扭转、畸变和界面双向滑移的曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元梁单元，以期该结构形式能得到大幅度的应用。

为达到以上目的，本发明采取的技术方案是：

一种曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法，包括以下步骤：

1作出基本假设：

(1)混凝土板为矩形截面且与未变形结构中的钢梁有相同的曲率；

(2)混凝土板和钢梁的竖向位移始终相同；

(3)曲率半径沿梁长保持不变；

(4)钢梁和混凝土板之间的剪力连接在切向和径向两个方向上都是柔性的；

(5)箱型梁的截面尺寸远小于跨径，即忽略曲率半径在梁宽方向上的变化；

(6)仅考虑畸变引起的纵向位移，不计畸变引起的其他效应及横向变形；

(7)忽略弯曲及翘曲产生的剪切变形。

2选取坐标系

选取的箱型梁坐标系为过形心的三维流动坐标系oxyz，ox轴平行于混凝土板指向箱型梁曲率中心，oy轴竖直向下，oz轴与梁未变形前的轴线重合。同时，取s轴为箱型梁各板截面切向方向，n轴为各板截面法向方向。

3组合箱型梁的位移模式及应变分量

设组合箱型梁形心沿ox、oy及oz轴的位移分别为u(z)、v(z)、w(z)，θ(z)及θ_d(z)分别为组合箱型梁截面绕扭转中心及畸变中心的扭转角和畸变角，此外，依据乌曼斯基第二扭转理论，引入一个独立的扭转翘曲位移函数β(z)。基于所述三维流动坐标系oxyz，组合箱型梁上任一点的纵向位移W_z(z,s)、切向位移W_s(z,s)及法向位移W_n(z,s)分别为：

W_z(z,s)＝w(z)+Ω_s(z)-(u(z)′+w(z)k₀+Ω_s(z)k₀)x-

v(z)′y-ω(x,y)(β(z)+v(z)′k₀)-ω_d(x,y)θ_d(z)′ (1)

W_s(z,s)＝-(u(z)+Ω_x(z))sinα-v(z)cosα+θ(z)ρ_s+θ_d(z)D_s (2)

W_n(z,s)＝(u(z)+Ω_x(z))cosα-v(z)sinα-θ(z)ρ_n-

θ_d(z)D_n (3)

式中：x、y、z、s为箱型梁上任意点的相应位置坐标，()′＝d()/dz，ω(x,y)及ω_d(x,y)分别为扭转翘曲及畸变翘曲主扇形坐标，k₀＝1/R₀为箱梁初始曲率，R₀为箱梁的初始曲率半径，α为从x轴转到n轴的角度，以逆时针方向为正，Ω_x(z)、Ω_s(z)分别表示钢梁与混凝土板在径向、切向的相对滑移。其中，ρ_s＝(y-y_s)sinα-(x-x_s)cosα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上切向位移分布；ρ_n＝(y-y_s)cosα+(x-x_s)sinα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上法向位移分布；D_s＝[(y-y_d)sinα-(x-x_d)cosα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角切向方向位移分布；D_n＝[(y-y_d)cosα+(x-x_d)sinα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角法向方向位移分布。式中，x_s、y_s及x_d、y_d分别为扭转中心和畸变中心坐标，在顶板、底板上：Ψ_d＝-1/(1+υ)，在腹板上：Ψ_d＝υ/(1+υ)，υ＝(2h₁bc1+2h₃bs)/(h₂c+h₄c)，为一仅与截面形状有关的常数，h₁、h₃、h₂和h₄为畸变中心至顶板、底板及两腹板的垂直距离，bc1、bs分别为箱型梁闭口部分顶板、底板宽度的一半，c为箱型梁腹板长度。

钢梁与混凝土板交界面处的总滑移可写为：

u_sp＝2Ω_x(z) (4)

w_sp＝2Ω_s(z) (5)

式中：u_sp、w_sp分别表示径向和切向的滑移量。

基于上述位移模式，在上述坐标系下任意点p的正应变分量为

依据假设(7)，任意点p的切应变分量为

式中：r*为扭转中心到p点切线的垂直距离,

式中：Ω＝∮tds，为箱型梁各板所围面积的两倍，t为箱型梁各板板厚。

4组合箱型梁的平衡方程

由虚功原理可得曲线钢-混凝土组合箱型梁的平衡方程如下

a)式(8)中前三个积分分别为由钢梁、混凝土板及预应力钢筋的变形所引起的内虚功，A表示横截面面积，其中A_s、A_c、A_r分别表示钢梁、混凝土板和预应力钢筋的横截面面积，L为组合箱型梁的总长；由式(6)及式(7)可知钢梁、混凝土板及预应力钢筋的应变变量可改写为式(9)所示：

δε_k＝SB_kδd (9)

其中，下标k可用s、c和r替换，分别表示钢梁、混凝土板及预应力钢筋，矩阵B_k详见附录A；矩阵S及位移向量d如下所示：

d＝{[u] [v] [w] [θ] [β] [θ_d] [Ω]}^T

[u]＝{u(z) u(z)′ u(z)″}、[v]＝{v(z) v(z)′ v(z)″}、[w]＝{w(z) w(z)′}、[θ]＝{θ(z) θ(z)′}、[β]＝{β(z) β(z)′}、[θ_d]＝{θ_d(z) θ_d(z)′ θ_d(z)″}、[Ω]＝{2Ω_x(z) 2Ω_x(z)′ 2Ω_s(z) 2Ω_s(z)′}

假定曲线组合箱型梁在正常使用阶段钢梁、混凝土板及预应力钢筋均处于弹性阶段，则钢梁及混凝土板的应力-应变关系可用式(10)表示：

式中，下标k可用s和c替换分别表示钢梁及混凝土板，σ_k、τ_k分别为钢梁或混凝土板的正应力及切应力；ε_k、γ_k为钢梁或混凝土板的正应变及切应变，E_k、G_k分别为相应的杨氏模量及剪切模量；

预应力钢筋的应力-应变关系可用式(11)表示：

式中，E_r、G_r分别为预应力钢筋的杨氏模量及剪切模量，ε_r0为预应力钢筋预拉伸应变。

b)式(8)中第四项为钢梁与混凝土板之间相对滑移所产生的内虚功，b为钢梁上翼缘宽度，由式(4)-式(5)，钢梁与混凝土板间的界面滑移变量可写为式(12)所示：

δd_slip＝{δu_sp δw_sp}^T＝S_ΩB_Ωδd (12)

式中，矩阵B_Ω详见附录A，S_Ω如下所示：

假定螺栓剪力件在使用中处于线弹性阶段，则组合箱型梁界面处的剪力流可由滑移位移通过式(13)得出

式中，q_us、q_ws分别为组合箱型梁截面交界处径向及切向剪应力流；ρ为剪力连接件刚度矩阵，ρ_u、ρ_w分别为径向及切向的滑移刚度(单位：力/长度³)；

c)式(8)中第五项为框架抵抗畸变所产生的内虚功，K_R为框架抗畸变刚度，其值可通过式(14)算出；

式中，

E为弹性模量，Θ为腹板与顶板的夹角，c为腹板长度，μ为泊松比，tc、tw、ts分别为混凝土板、钢腹板、钢底板的厚度；

d)式(8)中后两项为外荷载所产生的外虚功，Q＝{Q_n Q_s Q_z}^T和q＝{q_n q_s q_z}^T分别为集中荷载和均布荷载矩阵，Q_n、Q_s、Q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的集中力，q_n q_s q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的均布力，δW为外荷载作用下的位移，由式(1)-(3)可得其可写为式(15)所示：

δW＝{δW_n δW_s δW_z}^T＝H₁δD+H₂δD′ (15)

式中，

[H₁]_3×8＝[[A₁]^T [A₂]^T [A₃]^T]^T

[H₂]_3×8＝[[0]_1×8 ^T [0]_1×8 ^T [A₄]^T]^T

A₁＝{cosα -sinα 0 -ρ_n 0 -D_n cosα/2 0}

A₂＝{-sinα -cosα 0 ρ_s 0 D_s -sinα/2 0}

A₃＝{0 0 1-xk₀ 0 -ω(x,y) 0 0 (1-xk₀)/2}

A₄＝{-x -(y+ω(x,y)k₀) 0 0 0 -ω_d(x,y) 0 0}

D＝{u(z) v(z) w(z) θ(z) β(z) θ_d(z) 2Ω_x(z) 2Ω_s(z)}^T

5曲线钢-混凝土组合箱型梁的有限单元方程

将式(9)-式(15)带入式(8)中，整理后可得曲线钢-混凝土组合箱型梁的有限单元方程如式(16)所示：

Kd^e＝F (16)

式中，K为组合箱型梁单元刚度矩阵，d^e为相应的节点位移，F为等效荷载矩阵：

其中，T_R为框架抗畸变刚度矩阵，T_R(13,13)＝K_R；i＝1或2；N及N_F为相应的形函数矩阵，详见附录B。

附录A

B_k矩阵中的非零元素如下：

B_k(1,1)＝-k₀；B_k(1,8)＝1；B_k(1,9)＝-y_s*k₀；B_k(1,13)＝-y_d*k₀*Ψ_d；B_k

(1,16)＝a_k*k₀；B_k(1,19)＝a_k；

B_k(2,3)＝-1；B_k(2,8)＝-k₀；B_k(2,19)＝a_k*k₀；

B_k(3,6)＝-1；B_k(3,9)＝k₀；B_k(3,13)＝k₀*Ψ_d；

B_k(4,6)＝-k₀；B_k(4,12)＝-1；

B_k(5,15)＝-1；

B_k(6,5)＝k₀；B_k(6,10)＝1；

B_k(7,5)＝-k₀；B_k(7,11)＝-1；

其中，下标k可用s、c和r替换且a_s＝0.5、a_c＝-0.5、a_r＝-0.5。

B_Ω矩阵中的非零元素如下：

B_Ω(1,16)＝1；B_Ω(2,18)＝1；

附录B

形函数矩阵N中非零元素如下：

N(1,1)＝n₁；N(1,2)＝n₂；N(1,12)＝n₃；N(1,13)＝n₄；

N(2,1)＝n′₁；N(2,2)＝n′₂；N(2,12)＝n′₃；N(2,13)＝n′₄；

N(3,1)＝n″₁；N(3,2)＝n″₂；N(3,12)＝n″₃；N(3,13)＝n″₄；

N(4,3)＝n₁；N(4,4)＝n₂；N(4,14)＝n₃；N(4,15)＝n₄；

N(5,3)＝n′₁；N(5,4)＝n′₂；N(5,14)＝n′₃；N(5,15)＝n′₄；

N(6,3)＝n″₁；N(6,4)＝n″₂；N(6,14)＝n″₃；N(6,15)＝n″₄；

N(7,5)＝m₁；N(7,16)＝m₂；

N(8,5)＝m′₁；N(8,16)＝m′₂；

N(9,6)＝m₁；N(9,17)＝m₂；

N(10,6)＝m′₁；N(10,17)＝m′₂；

N(11,7)＝m₁；N(11,18)＝m₂；

N(12,7)＝m′₁；N(12,18)＝m′₂；

N(13,8)＝n₁；N(13,9)＝n₂；N(13,19)＝n₃；N(13,20)＝n₄；

N(14,8)＝n′₁；N(14,9)＝n′₂；N(14,19)＝n′₃；N(14,20)＝n′₄；

N(15,8)＝n″₁；N(15,9)＝n″₂；N(15,19)＝n″₃；N(15,20)＝n″₄；

N(16,10)＝m₁；N(16,21)＝m₂；

N(17,10)＝m′₁；N(17,21)＝m′₂；

N(18,11)＝m₁；N(18,22)＝m₂；

N(19,11)＝m′₁；N(19,22)＝m′₂；

形函数矩阵N_F中的非零元素如下：

N_F(1,1)＝n₁；N_F(1,2)＝n₂；N_F(1,12)＝n₃；N_F(1,13)＝n₄；

N_F(2,3)＝n₁；N_F(2,4)＝n₂；N_F(2,14)＝n₃；N_F(2,15)＝n₄；

N_F3,5)＝m₁；N_F(3,16)＝m₂；

N_F(4,6)＝m₁；N_F(4,17)＝m₂；

N_F(5,7)＝m₁；N_F(5,18)＝m₂；

N_F(6,8)＝n₁；N_F(6,9)＝n₂；N_F(6,19)＝n₃；N_F(6,20)＝n₄；

N_F(7,10)＝m₁；N_F(7,21)＝m₂；

N_F(8,11)＝m₁；N_F(8,22)＝m₂；

其中，n₁＝(1+2*z/d)*((z-d)/d)^2；n₂＝z*((z-d)/d)^2；n₃＝(1-2*(z-d)/d)*(z/d)^2；n₄＝(z-d)*(z/d)^2；m₁＝1-z/d；m₂＝z/d，z为位置未知数，d为单元长度。

有益效果：

相较于其他同类型的有限元模型，本发明考虑了曲线钢-混凝土组合箱型梁的双向界面滑移及混凝土板中的预应力钢筋的影响，此外本文采用乌曼斯基约束扭转理论，引入一个独立的变量来考虑箱梁的约束扭转翘曲，使得计算结果更为精确。

附图说明

本发明有如下附图：

图1曲线组合箱型梁约束扭转、畸变及双向滑移示意图。

图2曲线组合箱型梁几何尺寸标注和坐标系。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步详细说明。

如图1和2所示，本发明所述的曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法，包括以下步骤：

1作出基本假设：

(1)混凝土板为矩形截面且与未变形结构中的钢梁有相同的曲率；

(2)混凝土板和钢梁的竖向位移始终相同；

(3)曲率半径沿梁长保持不变；

(4)钢梁和混凝土板之间的剪力连接在切向和径向两个方向上都是柔性的；

(5)箱型梁的截面尺寸远小于跨径，即忽略曲率半径在梁宽方向上的变化；

(6)仅考虑畸变引起的纵向位移，不计畸变引起的其他效应及横向变形；

(7)忽略弯曲及翘曲产生的剪切变形。

2选取坐标系

选取的箱型梁坐标系为过形心的三维流动坐标系oxyz，ox轴平行于混凝土板指向箱型梁曲率中心，oy轴竖直向下，oz轴与梁未变形前的轴线重合。同时，取s轴为箱型梁各板截面切向方向，n轴为各板截面法向方向。

3组合箱型梁的位移模式及应变分量

设组合箱型梁形心沿ox、oy及oz轴的位移分别为u(z)、v(z)、w(z)，θ(z)及θ_d(z)分别为组合箱型梁截面绕扭转中心及畸变中心的扭转角和畸变角，此外，依据乌曼斯基第二扭转理论，引入一个独立的扭转翘曲位移函数β(z)。基于所述三维流动坐标系oxyz，组合箱型梁上任一点的纵向位移W_z(z,s)、切向位移W_s(z,s)及法向位移W_n(z,s)分别为：

W_z(z,s)＝w(z)+Ω_s(z)-(u(z)′+w(z)k₀+Ω_s(z)k₀)x-

v(z)′y-ω(x,y)(β(z)+v(z)′k₀)-ω_d(x,y)θ_d(z)′ (1)

W_s(z,s)＝-(u(z)+Ω_x(z))sinα-v(z)cosα+θ(z)ρ_s+θ_d(z)D_s (2)

W_n(z,s)＝(u(z)+Ω_x(z))cosα-v(z)sinα-θ(z)ρ_n-θ_d(z)D_n (3)

式中：x、y、z、s为箱型梁上任意点的相应位置坐标，()′＝d()/dz，ω(x,y)及ω_d(x,y)分别为扭转翘曲及畸变翘曲主扇形坐标，k₀＝1/R₀为箱梁初始曲率，R₀为箱梁的初始曲率半径，α为从x轴转到n轴的角度，以逆时针方向为正，Ω_x(z)、Ω_s(z)分别表示钢梁与混凝土板在径向、切向的相对滑移。其中，ρ_s＝(y-y_s)sinα-(x-x_s)cosα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上切向位移分布；ρ_n＝(y-y_s)cosα+(x-x_s)sinα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上法向位移分布；D_s＝[(y-y_d)sinα-(x-x_d)cosα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角切向方向位移分布；D_n＝[(y-y_d)cosα+(x-x_d)sinα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角法向方向位移分布。式中，x_s、y_s及x_d、y_d分别为扭转中心和畸变中心坐标，在顶板、底板上：Ψ_d＝-1/(1+υ)，在腹板上：Ψ_d＝υ/(1+υ)，υ＝(2h₁bc1+2h₃bs)/(h₂c+h₄c)，为一仅与截面形状有关的常数，h₁、h₃、h₂和h₄为畸变中心至顶板、底板及两腹板的垂直距离，bc1、bs分别为箱型梁闭口部分顶板、底板宽度的一半，c为箱型梁腹板长度。

钢梁与混凝土板交界面处的总滑移可写为：

u_sp＝2Ω_x(z) (4)

w_sp＝2Ω_s(z) (5)

式中：u_sp、w_sp分别表示径向和切向的滑移量。

基于上述位移模式，在上述坐标系下任意点p的正应变分量为

依据假设(7)，任意点p的切应变分量为

式中：r*为扭转中心到p点切线的垂直距离,

式中：Ω＝∮tds，为箱型梁各板所围面积的两倍，t为箱型梁各板板厚。

4组合箱型梁的平衡方程

由虚功原理可得曲线钢-混凝土组合箱型梁的平衡方程如下

a)式(8)中前三个积分分别为由钢梁、混凝土板及预应力钢筋的变形所引起的内虚功，A表示横截面面积，其中A_s、A_c、A_r分别表示钢梁、混凝土板和预应力钢筋的横截面面积，L为组合箱型梁的总长；由式(6)及式(7)可知钢梁、混凝土板及预应力钢筋的应变变量可改写为式(9)所示：

δε_k＝SB_kδd (9)

其中，下标k可用s、c和r替换，分别表示钢梁、混凝土板及预应力钢筋，矩阵B_k详见附录A；矩阵S及位移向量d如下所示：

d＝{[u] [v] [w] [θ] [β] [θ_d] [Ω]}^T

[u]＝{u(z) u(z)′ u(z)″}、[v]＝{v(z) v(z)′ v(z)″}、[w]＝{w(z) w(z)′}、[θ]＝{θ(z) θ(z)′}、[β]＝{β(z) β(z)′}、[θ_d]＝{θ_d(z) θ_d(z)′ θ_d(z)″}、[Ω]＝{2Ω_x(z) 2Ω_x(z)′ 2Ω_s(z) 2Ω_s(z)′}

假定曲线组合箱型梁在正常使用阶段钢梁、混凝土板及预应力钢筋均处于弹性阶段，则钢梁及混凝土板的应力-应变关系可用式(10)表示：

式中，下标k可用s和c替换分别表示钢梁及混凝土板，σ_k、τ_k分别为钢梁或混凝土板的正应力及切应力；ε_k、γ_k为钢梁或混凝土板的正应变及切应变，E_k、G_k分别为相应的杨氏模量及剪切模量；

预应力钢筋的应力-应变关系可用式(11)表示：

式中，E_r、G_r分别为预应力钢筋的杨氏模量及剪切模量，ε_r0为预应力钢筋预拉伸应变。

b)式(8)中第四项为钢梁与混凝土板之间相对滑移所产生的内虚功，b为钢梁上翼缘宽度，由式(4)-式(5)，钢梁与混凝土板间的界面滑移变量可写为式(12)所示：

δd_slip＝{δu_sp δw_sp}^T＝S_ΩB_Ωδd (12)

式中，矩阵B_Ω详见附录A，S_Ω如下所示：

假定螺栓剪力件在使用中处于线弹性阶段，则组合箱型梁界面处的剪力流可由滑移位移通过式(13)得出

式中，q_us、q_ws分别为组合箱型梁截面交界处径向及切向剪应力流；ρ为剪力连接件刚度矩阵，ρ_u、ρ_w分别为径向及切向的滑移刚度(单位：力/长度³)；

c)式(8)中第五项为框架抵抗畸变所产生的内虚功，K_R为框架抗畸变刚度，其值可通过式(14)算出；

式中，

E为弹性模量，Θ为腹板与顶板的夹角，c为腹板长度，μ为泊松比，tc、tw、ts分别为混凝土板、钢腹板、钢底板的厚度；

d)式(8)中后两项为外荷载所产生的外虚功，Q＝{Q_n Q_s Q_z}^T和q＝{q_n q_s q_z}^T分别为集中荷载和均布荷载矩阵，Q_n、Q_s、Q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的集中力，q_n q_s q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的均布力，δW为外荷载作用下的位移，由式(1)-(3)可得其可写为式(15)所示：

δW＝{δW_n δW_s δW_z}^T＝H₁δD+H₂δD′ (15)

式中，

[H₁]_3×8＝[[A₁]^T [A₂]^T [A₃]^T]^T

[H₂]_3×8＝[[0]_1×8 ^T [0]_1×8 ^T [A₄]^T]^T

A₁＝{cosα -sinα 0 -ρ_n 0 -D_n cosα/2 0}

A₂＝{-sinα -cosα 0 ρ_s 0 D_s -sinα/2 0}

A₃＝{0 0 1-xk₀ 0 -ω(x,y) 0 0 (1-xk₀)/2}

A₄＝{-x -(y+ω(x,y)k₀) 0 0 0 -ω_d(x,y) 0 0}

D＝{u(z) v(z) w(z) θ(z) β(z) θ_d(z) 2Ω_x(z) 2Ω_s(z)}^T

5曲线钢-混凝土组合箱型梁的有限单元方程

将式(9)-式(15)带入式(8)中，整理后可得曲线钢-混凝土组合箱型梁的有限单元方程如式(16)所示：

Kd^e＝F (16)

式中，K为组合箱型梁单元刚度矩阵，d^e为相应的节点位移，F为等效荷载矩阵：

其中，T_R为框架抗畸变刚度矩阵，T_R(13,13)＝K_R；i＝1或2；N及N_F为相应的形函数矩阵，详见附录B。

附录A

B_k矩阵中的非零元素如下：

B_k(1,1)＝-k₀；B_k(1,8)＝1；B_k(1,9)＝-y_s*k₀；B_k(1,13)＝-y_d*k₀*Ψ_d；B_k(1,16)＝a_k*k₀；B_k(1,19)＝a_k；

B_k(2,3)＝-1；B_k(2,8)＝-k₀；B_k(2,19)＝a_k*k₀；

B_k(3,6)＝-1；B_k(3,9)＝k₀；B_k(3,13)＝k₀*Ψ_d；

B_k(4,6)＝-k₀；B_k(4,12)＝-1；

B_k(5,15)＝-1；

B_k(6,5)＝k₀；B_k(6,10)＝1；

B_k(7,5)＝-k₀；B_k(7,11)＝-1；

其中，下标k可用s、c和r替换且a_s＝0.5、a_c＝-0.5、a_r＝-0.5。

B_Ω矩阵中的非零元素如下：

B_Ω(1,16)＝1；B_Ω(2,18)＝1；

附录B

形函数矩阵N中非零元素如下：

N(1,1)＝n₁；N(1,2)＝n₂；N(1,12)＝n₃；N(1,13)＝n₄；

N(2,1)＝n′₁；N(2,2)＝n′₂；N(2,12)＝n′₃；N(2,13)＝n′₄；

N(3,1)＝n″₁；N(3,2)＝n″₂；N(3,12)＝n″₃；N(3,13)＝n″₄；

N(4,3)＝n₁；N(4,4)＝n₂；N(4,14)＝n₃；N(4,15)＝n₄；

N(5,3)＝n′₁；N(5,4)＝n′₂；N(5,14)＝n′₃；N(5,15)＝n′₄；

N(6,3)＝n″₁；N(6,4)＝n″₂；N(6,14)＝n″₃；N(6,15)＝n″₄；

N(7,5)＝m₁；N(7,16)＝m₂；

N(8,5)＝m′₁；N(8,16)＝m′₂；

N(9,6)＝m₁；N(9,17)＝m₂；

N(10,6)＝m′₁；N(10,17)＝m′₂；

N(11,7)＝m₁；N(11,18)＝m₂；

N(12,7)＝m′₁；N(12,18)＝m′₂；

N(13,8)＝n₁；N(13,9)＝n₂；N(13,19)＝n₃；N(13,20)＝n₄；

N(14,8)＝n′₁；N(14,9)＝n′₂；N(14,19)＝n′₃；N(14,20)＝n′₄；

N(15,8)＝n″₁；N(15,9)＝n″₂；N(15,19)＝n″₃；N(15,20)＝n″₄；

N(16,10)＝m₁；N(16,21)＝m₂；

N(17,10)＝m′₁；N(17,21)＝m′₂；

N(18,11)＝m₁；N(18,22)＝m₂；

N(19,11)＝m′₁；N(19,22)＝m′₂；

形函数矩阵N_F中的非零元素如下：

N_F(1,1)＝n₁；N_F(1,2)＝n₂；N_F(1,12)＝n₃；N_F(1,13)＝n₄；

N_F(2,3)＝n₁；N_F(2,4)＝n₂；N_F(2,14)＝n₃；N_F(2,15)＝n₄；

N_F3,5)＝m₁；N_F(3,16)＝m₂；

N_F(4,6)＝m₁；N_F(4,17)＝m₂；

N_F(5,7)＝m₁；N_F(5,18)＝m₂；

N_F(6,8)＝n₁；N_F(6,9)＝n₂；N_F(6,19)＝n₃；N_F(6,20)＝n₄；

N_F(7,10)＝m₁；N_F(7,21)＝m₂；

N_F(8,11)＝m₁；N_F(8,22)＝m₂；

其中，n₁＝(1+2*z/d)*((z-d)/d)^2；n₂＝z*((z-d)/d)^2；n₃＝

(1-2*(z-d)/d)*(z/d)^2；n₄＝(z-d)*(z/d)^2；m₁＝1-z/d；m₂＝z/d，z为位置未知数，d为单元长度。

参考文献：

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[2]Giussani F,Mola F.Service-stage analysis of curved compositesteel-concrete bridge beams.Journal of Structural Engineering,ASCE,2006,132(12):1928-1939.

[3]Chang CJ,White DW.An assessment of modeling strategies forcomposite curved steel I-girder bridges.Engineering Structures,2008,30:2991-3002.

[4]Erkmen RE,Bradford MA.Nonlinear elastic analysis of compositebeams curved in-plan.Engineering Structures,2009,31:1613-1624.

[5]Erkmen RE,Bradford MA.Nonlinear quasi-viscoelastic behavior ofcomposite beams curved in-plan.Journal of Engineering Mechanics,ASCE,2011,137(4):238-247.

[6]Erkmen RE,Bradford MA.Time-dependent creep and shrinkage analysisof composite beams curved in-plan.Computers and Structures,2011,89(1-2):67-77.

[7]Adamakosa T,Vayas I,Petridis S,Iliopoulos A.Modeling of curvedcomposite I-girder bridges using spatial systems of beam elements.Journal ofConstructional Steel Research,2011,67:462-470.

[8]Liu X,Bradford MA,Erkmen RE.Time-dependent response of spatiallycurved steel-concrete composite members.I:Computational modeling.Journal ofStructural Engineering,ASCE,2013,139(12):04013004.

[9]Thevendran V,Shanmugam NE,Chen S,Liew JYR.Experimental study onsteel-concrete composite beams curved in plan.Engineering Structures,2000,22(8):877-889.

[10]Tan EL,Uy B.Experimental study on curved composite beamssubjected to combined flexure and torsion.Journal of Constructional SteelResearch,2009,65:1855-1863.

[11]Liu X,Bradford MA,Erkmen RE.Time-dependent response of spatiallycurved steel-concrete composite members.II:Curved-beam experimentalmodeling.Journal of Structural Engineering,ASCE,2013,139(12):04013003.

[12]Lin W,Yoda T.Experimental and numerical study on mechanicalbehavior of composite girders under hogging moment.International Journal ofAdvanced Steel Construction,2013,9(4):309-333.

[13]Lin W,Yoda T.Numerical study on horizontally curved steel-concrete composite beams subjected to hogging moment.International Journal ofSteel Structures,2014,14(3):557-569.

[14]Segura JM,Armengaud G.Analytical formulation of stresses incurved composite beams.Archive of Applied Mechanics,1998,68:206-213.

[15]Piovan MT,Cortinez VH.Mechanics of thin-walled curved beams madeof composite materials,allowing for shear deformability.Thin-WalledStructures,2007,45:759-789.

[16]Nie JG,Zhu L.Beam-truss model of steel-concrete composite box-girder bridges.Journal of Bridge Engineering,ASCE,2014,19(7):04014023.

[17]Nakai H,Yoo CH.Analysis and design of curved steel bridges.NewYork,McGraw-Hill Co.,1988.

本说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1、作出基本假设：

(1)混凝土板为矩形截面且与未变形结构中的钢梁有相同的曲率；

(2)混凝土板和钢梁的竖向位移始终相同；

(3)曲率半径沿梁长保持不变；

(4)钢梁和混凝土板之间的剪力连接在切向和径向两个方向上都是柔性的；

(5)箱型梁的截面尺寸远小于跨径，忽略曲率半径在梁宽方向上的变化；

(6)仅考虑畸变引起的纵向位移，不计畸变引起的其他效应及横向变形；

(7)忽略弯曲及翘曲产生的剪切变形；

步骤2、选取坐标系

选取的箱型梁坐标系为过形心的三维流动坐标系oxyz，ox轴平行于混凝土板指向箱型梁曲率中心，oy轴竖直向下，oz轴与梁未变形前的轴线重合；同时，取s轴为箱型梁各板截面切向方向，n轴为各板截面法向方向；

步骤3、组合箱型梁的位移模式及应变分量

设组合箱型梁形心沿ox、oy及oz轴的位移分别为u(z)、v(z)、w(z)，θ(z)及θ_d(z)分别为组合箱型梁截面绕扭转中心及畸变中心的扭转角和畸变角，依据乌曼斯基第二扭转理论，引入一个独立的扭转翘曲位移函数β(z)；

基于所述三维流动坐标系oxyz，组合箱型梁上任一点的纵向位移W_z(z,s)、切向位移W_s(z,s)及法向位移W_n(z,s)分别为：

W_z(z,s)＝w(z)+Ω_s(z)-(u(z)′+w(z)k₀+Ω_s(z)k₀)x-v(z)′y-ω(x,y)(β(z)+v(z)′k₀)-ω_d(x,y)θ_d(z)′ (1)

W_s(z,s)＝-(u(z)+Ω_x(z))sinα-v(z)cosα+θ(z)ρ_s+θ_d(z)D_s (2)

W_n(z,s)＝(u(z)+Ω_x(z))cosα-v(z)sinα-θ(z)ρ_n-θ_d(z)D_n (3)

式中：x、y、z、s为箱型梁上任意点的相应位置坐标，()′＝d()/dz，ω(x,y)及ω_d(x,y)分别为扭转翘曲及畸变翘曲主扇形坐标，k₀＝1/R₀为箱梁初始曲率，R₀为箱梁的初始曲率半径，α为从x轴转到n轴的角度，以逆时针方向为正，Ω_x(z)、Ω_s(z)分别表示钢梁与混凝土板在径向、切向的相对滑移；其中，ρ_s＝(y-y_s)sinα-(x-x_s)cosα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上切向位移分布；ρ_n＝(y-y_s)cosα+(x-x_s)sinα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上法向位移分布；D_s＝[(y-y_d)sinα-(x-x_d)cosα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角切向方向位移分布；D_n＝[(y-y_d)cosα+(x-x_d)sinα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角法向方向位移分布；式中，x_s、y_s及x_d、y_d分别为扭转中心和畸变中心坐标，在顶板、底板上：Ψ_d＝-1/(1+υ)，在腹板上：Ψ_d＝υ/(1+υ)，υ＝(2h₁bc1+2h₃bs)/(h₂c+h₄c)，为一仅与截面形状有关的常数，h₁、h₃、h₂和h₄为畸变中心至顶板、底板及两腹板的垂直距离，bc1、bs分别为箱型梁闭口部分顶板、底板宽度的一半，c为箱型梁腹板长度；

钢梁与混凝土板交界面处的总滑移可写为：

u_sp＝2Ω_x(z) (4)

w_sp＝2Ω_s(z) (5)

式中：u_sp、w_sp分别表示径向和切向的滑移量；

基于上述位移模式，在上述坐标系下任意点p的正应变分量为

依据假设(7)，任意点p的切应变分量为

式中：r*为扭转中心到p点切线的垂直距离,

式中：

为箱型梁各板所围面积的两倍，t为箱型梁各板板厚；

步骤4、组合箱型梁的平衡方程

由虚功原理可得曲线钢-混凝土组合箱型梁的平衡方程如下

式(8)中前三个积分分别为由钢梁、混凝土板及预应力钢筋的变形所引起的内虚功，A表示横截面面积，其中A_s、A_c、A_r分别表示钢梁、混凝土板和预应力钢筋的横截面面积，L为组合箱型梁的总长；由式(6)及式(7)可知钢梁、混凝土板及预应力钢筋的应变变量可改写为式(9)所示：

δε_k＝SB_kδd (9)

其中，下标k可用s、c和r替换，分别表示钢梁、混凝土板及预应力钢筋，矩阵B_k详见附录A；矩阵S及位移向量d如下所示：

d＝{[u] [v] [w] [θ] [β] [θ_d] [Ω]}^T

[u]＝{u(z) u(z)′ u(z)″}、[v]＝{v(z) v(z)′ v(z)″}、[w]＝{w(z) w(z)′}、[θ]＝{θ(z) θ(z)′}、[β]＝{β(z) β(z)′}、[θ_d]＝{θ_d(z) θ_d(z)′ θ_d(z)″}、[Ω]＝{2Ω_x(z) 2Ω_x(z)′ 2Ω_s(z) 2Ω_s(z)′}

假定曲线组合箱型梁在正常使用阶段钢梁、混凝土板及预应力钢筋均处于弹性阶段，则钢梁及混凝土板的应力-应变关系可用式(10)表示：

式中，下标k可用s和c替换分别表示钢梁及混凝土板，σ_k、τ_k分别为钢梁或混凝土板的正应力及切应力；ε_k、γ_k为钢梁或混凝土板的正应变及切应变，E_k、G_k分别为相应的杨氏模量及剪切模量；

预应力钢筋的应力-应变关系可用式(11)表示：

式中，E_r、G_r分别为预应力钢筋的杨氏模量及剪切模量，ε_r0为预应力钢筋预拉伸应变；

式(8)中第四项为钢梁与混凝土板之间相对滑移所产生的内虚功，b为钢梁上翼缘宽度，由式(4)-式(5)，钢梁与混凝土板间的界面滑移变量可写为式(12)所示：

δd_slip＝{δu_sp δw_sp}^T＝S_ΩB_Ωδd (12)

式中，矩阵B_Ω详见附录A，S_Ω如下所示：

假定螺栓剪力件在使用中处于线弹性阶段，则组合箱型梁界面处的剪力流可由滑移位移通过式(13)得出

式中，q_us、q_ws分别为组合箱型梁截面交界处径向及切向剪应力流；ρ为剪力连接件刚度矩阵，ρ_u、ρ_w分别为径向及切向的滑移刚度，单位：力/长度³；

式(8)中第五项为框架抵抗畸变所产生的内虚功，K_R为框架抗畸变刚度，其值可通过式(14)算出；

式中，

E为弹性模量，Θ为腹板与顶板的夹角，c为腹板长度，μ为泊松比，tc、tw、ts分别为混凝土板、钢腹板、钢底板的厚度；

式(8)中后两项为外荷载所产生的外虚功，Q＝{Q_n Q_s Q_z}^T和q＝{q_n q_s q_z}^T分别为集中荷载和均布荷载矩阵，Q_n、Q_s、Q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的集中力，q_n q_s q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的均布力，δW为外荷载作用下的位移，由式(1)-(3)可得其可写为式(15)所示：

δW＝{δW_n δW_s δW_z}^T＝H₁δD+H₂δD′ (15)

式中，

[H₁]_3×8＝[[A₁]^T [A₂]^T [A₃]^T]^T

[H₂]_3×8＝[[0]_1×8 ^T [0]_1×8 ^T [A₄]^T]^T

A₁＝{cosα -sinα 0 -ρ_n 0 -D_n cosα/2 0}

A₂＝{-sinα -cosα 0 ρ_s 0 D_s -sinα/2 0}

A₃＝{0 0 1-xk₀ 0 -ω(x,y) 0 0 (1-xk₀)/2}

A₄＝{-x -(y+ω(x,y)k₀) 0 0 0 -ω_d(x,y) 0 0}

D＝{u(z) v(z) w(z) θ(z) β(z) θ_d(z) 2Ω_x(z) 2Ω_s(z)}^T

步骤5、曲线钢-混凝土组合箱型梁的有限单元方程

将式(9)-式(15)带入式(8)中，整理后可得曲线钢-混凝土组合箱型梁的有限单元方程如式(16)所示：

Kd^e＝F (16)

式中，K为组合箱型梁单元刚度矩阵，d^e为相应的节点位移，F为等效荷载矩阵；

其中，T_R为框架抗畸变刚度矩阵，T_R(13,13)＝K_R；i＝1或2；N及N_F为相应的形函数矩阵，详见附录B；

附录A

B_k矩阵中的非零元素如下：

B_k(1,1)＝-k₀；B_k(1,8)＝1；B_k(1,9)＝-y_s*k₀；B_k(1,13)＝-y_d*k₀*Ψ_d；B_k(1,16)＝a_k*k₀；B_k(1,19)＝a_k；

B_k(2,3)＝-1；B_k(2,8)＝-k₀；B_k(2,19)＝a_k*k₀；

B_k(3,6)＝-1；B_k(3,9)＝k₀；B_k(3,13)＝k₀*Ψ_d；

B_k(4,6)＝-k₀；B_k(4,12)＝-1；

B_k(5,15)＝-1；

B_k(6,5)＝k₀；B_k(6,10)＝1；

B_k(7,5)＝-k₀；B_k(7,11)＝-1；

其中，下标k可用s、c和r替换且a_s＝0.5、a_c＝-0.5、a_r＝-0.5；

B_Ω矩阵中的非零元素如下：

B_Ω(1,16)＝1；B_Ω(2,18)＝1；

附录B

形函数矩阵N中非零元素如下：

N(1,1)＝n₁；N(1,2)＝n₂；N(1,12)＝n₃；N(1,13)＝n₄；

N(2,1)＝n′₁；N(2,2)＝n′₂；N(2,12)＝n′₃；N(2,13)＝n′₄；

N(3,1)＝n″₁；N(3,2)＝n″₂；N(3,12)＝n″₃；N(3,13)＝n″₄；

N(4,3)＝n₁；N(4,4)＝n₂；N(4,14)＝n₃；N(4,15)＝n₄；

N(5,3)＝n′₁；N(5,4)＝n′₂；N(5,14)＝n′₃；N(5,15)＝n′₄；

N(6,3)＝n″₁；N(6,4)＝n″₂；N(6,14)＝n″₃；N(6,15)＝n″₄；

N(7,5)＝m₁；N(7,16)＝m₂；

N(8,5)＝m′₁；N(8,16)＝m′₂；

N(9,6)＝m₁；N(9,17)＝m₂；

N(10,6)＝m′₁；N(10,17)＝m′₂；

N(11,7)＝m₁；N(11,18)＝m₂；

N(12,7)＝m′₁；N(12,18)＝m′₂；

N(13,8)＝n₁；N(13,9)＝n₂；N(13,19)＝n₃；N(13,20)＝n₄；

N(14,8)＝n′₁；N(14,9)＝n′₂；N(14,19)＝n′₃；N(14,20)＝n′₄；

N(15,8)＝n″₁；N(15,9)＝n″₂；N(15,19)＝n″₃；N(15,20)＝n″₄；

N(16,10)＝m₁；N(16,21)＝m₂；

N(17,10)＝m′₁；N(17,21)＝m′₂；

N(18,11)＝m₁；N(18,22)＝m₂；

N(19,11)＝m′₁；N(19,22)＝m′₂；

形函数矩阵N_F中的非零元素如下：

N_F(1,1)＝n₁；N_F(1,2)＝n₂；N_F(1,12)＝n₃；N_F(1,13)＝n₄；

N_F(2,3)＝n₁；N_F(2,4)＝n₂；N_F(2,14)＝n₃；N_F(2,15)＝n₄；

N_F3,5)＝m₁；N_F(3,16)＝m₂；

N_F(4,6)＝m₁；N_F(4,17)＝m₂；

N_F(5,7)＝m₁；N_F(5,18)＝m₂；

N_F(6,8)＝n₁；N_F(6,9)＝n₂；N_F(6,19)＝n₃；N_F(6,20)＝n₄；

N_F(7,10)＝m₁；N_F(7,21)＝m₂；

N_F(8,11)＝m₁；N_F(8,22)＝m₂；

其中，n₁＝(1+2*z/d)*((z-d)/d)^2；n₂＝z*((z-d)/d)^2；n₃＝(1-2*(z-d)/d)*(z/d)^2；n₄＝(z-d)*(z/d)^2；m₁＝1-z/d；m₂＝z/d，z为位置未知数，d为单元长度。

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