CN109067271B - 一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法 - Google Patents

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CN109067271B CN201811075402.2A CN201811075402A CN109067271B CN 109067271 B CN109067271 B CN 109067271B CN 201811075402 A CN201811075402 A CN 201811075402A CN 109067271 B CN109067271 B CN 109067271B
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    • H02—GENERATION; CONVERSION OR DISTRIBUTION OF ELECTRIC POWER
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    • H02P7/00—Arrangements for regulating or controlling the speed or torque of electric DC motors

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Abstract

本发明涉及一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，该装置包括基座和设于其上的直流电机，直流电机一侧输出轴与光电编码器连接，另一侧输出轴与飞轮惯性负载连接，飞轮惯性负载的输出轴经联轴器与力矩传感器连接，光电编码器、力矩传感器的信号输出端分别接至控制系统。该控制系统由轮廓控制器和电机组成，整个控制器的系统建立在扰动补偿的基础上，在控制器的设计上使用滑模控制器以跟踪误差最小为其调整函数，从而能获得更好的控制效能。本发明装置及其控制系统不仅控制准确度高，而且结构简单、紧凑，使用效果好。

Description

一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法
技术领域
本发明涉及电机控制器领域，特别是一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法。
背景技术
直流电动机被广泛应用于各种不同的应用场合，如硬盘驱动器，机床，机器人手臂驱动等等。然而，摩擦可能导致稳态误差和极限环，从而降低直流伺服电动机的性能。因此发展有效的摩擦补偿技术,提高伺服系统的性能是必要的。虽然基于模型的补偿方案可以有效地补偿摩擦力的影响，但它们的使用需要对摩檫力模型及其参数精确了解。此外，摩擦效应的性质可能因环境因素，如温度、润滑条件等而会改变。因此，基于模型的补偿方案必须依赖于离线或在线识别过程。因此需要无需事先了解摩擦模型的技术来补偿摩擦效应。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的是提出一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，能有效的增进系统的控制效能，并进一步减少系统对于不确定性的影响程度。
本发明采用以下方案实现：一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，包括基座、直流电机、光电编码器、飞轮惯性负载、联轴器、力矩传感器，所述直流电机一侧输出轴与所述光电编码器连接，所述直流电机的另一侧输出轴与所述飞轮惯性负载连接，所述飞轮惯性负载的输出轴经联轴器与所述力矩传感器连接，所述光电编码器的信号输出端、所述力矩传感器的信号输出端均连接至控制系统；
其中，所述控制系统建立在鲁棒扰动补偿方案基础上，使用滑模控制器使得伺服系统轮廓跟踪误差最小，从而能获得更好的轮廓控制效能，鲁棒自适应控制器确保所有闭环信号都是有界的，最后状态向量的误差和期望的轨迹
Figure BDA0001800640760000026
收敛到给定曲线，从而能获得更好的控制效能；
假设直流电动机系统具有摩擦效应，
J(dω/dt)＝Tm-Tf-Bω (1)
其中J是总转动惯量，ω是直流电机角速度，Tm是直流电机的转矩，Tf是摩擦力矩，B是粘性阻尼系数，假定忽略电枢电感L，则Tm表示为：
Tm＝(VA-VB)(KTR)＝(KAu-KBω) (2)
VA是电压放大器的输出，VB的反电动势电压，KT是电机的转矩常数，R为电枢电阻，KA是电压放大器的增益，u是控制电压，KB是反电动势常数，参数不确定系统建模：
Figure BDA0001800640760000021
Figure BDA0001800640760000022
注意，在方程(3)的项，加在字母上的^代表标称参数，Δ表示参数的变化，名义传递函数为
Figure BDA0001800640760000023
Tf为非线性摩擦力矩，从u到ω表示为：
Figure BDA0001800640760000024
模型不确定性函数定义为：
Figure BDA0001800640760000025
在此：
Figure BDA0001800640760000031
Figure BDA0001800640760000032
Figure BDA0001800640760000033
Figure BDA0001800640760000034
Figure BDA0001800640760000035
其中，P(s)和ΔP(s)是未知的，
Figure BDA0001800640760000036
是通过执行系统识别获得。
进一步地，所述联轴器为弹性联轴器。
进一步地，所述直流电机、光电编码器、力矩传感器分别通过直流电机固定支架、光电编码器固定支架、力矩传感器固定支架固定于所述基座上。
进一步地，所述控制系统包括直流电机驱动控制电路，所述直流电机驱动控制电路包括控制芯片电路和驱动芯片电路，所述鲁棒控制器设于所述控制芯片电路中，所述光电编码器的信号输出端与所述控制芯片电路的相应输入端相连接，所述控制芯片电路的输出端与所述驱动芯片电路的相应输入端相连接，用以驱动所述驱动芯片电路，所述驱动芯片电路的驱动频率调节信号输出端和驱动半桥电路调节信号输出端分别与所述直流电机的相应输入端连接。
进一步地，所述方程模型(3)中非线性摩擦力矩Tf作为未知干扰功能，用电流环补偿未知的摩擦力矩比较困难，因此，用Tef代替Tf，Tef表示非线性摩擦力矩，(3)被描述为：
Figure BDA0001800640760000037
如果Tef能够估计，补偿功能
Figure BDA0001800640760000038
将用于消除摩擦力矩和模型不确定性的影响，在此
Figure BDA0001800640760000039
是给出方程的名义转移函数的反函数，
由于摩擦衰减反馈回路涉及到倒置系统，系统
Figure BDA00018006407600000310
选择的是一个Hurwitz最小相位系统，输出角速度为:
Figure BDA0001800640760000041
Figure BDA0001800640760000042
u(s)表示控制器输出，补偿功能
Figure BDA0001800640760000043
为:
Figure BDA0001800640760000044
其中g是积分项的非负增益，F(s)是高截止频率的低通滤波器，方程(9)中的滤波器F(s)用于过滤高频测量噪声，定义参数误差函数为ρ(s)，由于模型的不确定性，有:
Figure BDA0001800640760000045
则方程(9)写成：
Figure BDA0001800640760000046
如方程(11)所示，
Figure BDA0001800640760000047
等于等价函数Tef(s)和参数误差函数ρ(s)的和，ρ(s)具有高增益g，当增益g被设计得较大时的跟踪效果得到改善，偿函数减小了摩擦力矩和参数误差函数对直流电动机系统的影响，添加补偿函数后，方程(6)中给出的模型改写为：
Figure BDA0001800640760000048
剩余扰动d(s)被定义为:
Figure BDA0001800640760000049
其中
Figure BDA00018006407600000410
表示转角对时间的导数，d1(s)和d2(s)代表残余摩擦和残差模型的不确定性，并可以作为系统的干扰。
进一步地，由于无法完全消除未知摩擦和建模，该控制方案可与传统控制器，如鲁棒控制相结合，以抑制残余摩擦力和方程不完全补偿引起的模型不确定性。然而，补偿器抵消系统中大部分具有不确定性。因此，滑模控制器需要一个适当的增益来保持系统的鲁棒性，并且能够明显地减少抖振。
结合方程(12)和(13)，列出以下动力学方程：
Figure BDA0001800640760000051
Figure BDA0001800640760000052
b＝(KAKT)/(RJ) (16)
其中
Figure BDA0001800640760000053
表示转角对时间的导数，u(t)表示控制器输出，对于方程(14)中给出的系统，作出以下假设。
假设一：
对于已知的非负常数δ1和δ2，干扰d1(t)和d2(t)，有：d1(t)＜δ1，d2(t)＜δ2||x(t)||. (17)
方程(14)中的动态参数f(t)不能完全确定，干扰δ1和δ2是有界的，动态参数f(t)和估计值
Figure BDA0001800640760000054
之间的估计误差由下列已知函数确定：
Figure BDA0001800640760000055
假设二：
方程(14)中的参数b的控制增益是未知的，但其具有已知边界bmax表示参数b的最大值，bmin表示，参数b的最小值
bmax≥b≥bmin＞0 (19)
假设三：
控制增益的估计值当做方程(19)中给出的边界几何平均值：
Figure BDA0001800640760000061
则边界变为：
Figure BDA0001800640760000062
Figure BDA0001800640760000063
定义一个时变状态向量为：
x(t)＝[θ(t) ω(t)]T (23)
将所需的时变状态定义为：
xd(t)＝[θd(t) ωd(t)]T (24)
跟踪误差矢量定义为：
Figure BDA0001800640760000064
开关状态s(t)＝0，在状态空间中定义为：
Figure BDA0001800640760000065
其中λ是严格正常数，证明：
Figure BDA0001800640760000066
控制律是：
Figure BDA0001800640760000067
其中，
Figure BDA0001800640760000068
Figure BDA0001800640760000069
且η是严格正常数，Ks表示符号函数的系数，F表示待定常数，
结合方程(14)方程(8)及(29)，做出了假设1,2,3，系统表面当且仅当方程(30)中所示的滑模控制增益成立时得到：当t→∞时x(t)-xd(t)→0，证明：
列出一个李雅普诺夫函数的情况：
Figure BDA0001800640760000077
由方程(27)，(28)，(29)得以下方程成立：
Figure BDA0001800640760000071
如果方程(32)满足滑模到达条件，则有：
Figure BDA0001800640760000072
则方程(32)写为：
Figure BDA0001800640760000073
因此，获得滑模增益是可能的。
Figure BDA0001800640760000074
因为：
Figure BDA0001800640760000075
结合方程(18)，则：
Figure BDA0001800640760000076
符合方程(30)，另一方面，假设滑模控制增益Ks符合方程(30)，方程(30)替换为方程(32)，然后，以方程(33)的形式导出条件，这也证明当t→∞时x(t)-xd(t)→0。
与现有技术相比，本发明有以下有益效果：
本发明使用扰动补偿，系统在跟踪效果上有着显著的改善，且参数的变动、噪声、交叉耦合的干扰和摩擦力等因素几乎无法对于运动系统效果造成影响，故基于扰动补偿的直流电机伺服控制系统能有效的增进系统的动态性能，并进一步减少系统对于不确定性的影响程度，提高了控制的准确性，可以获得较好的动态特性。此外，本发明装置设计合理，结构简单、紧凑，制造成本低，具有很强的实用性和广阔的应用前景。
附图说明
图1是本发明实施例的结构示意图。
图2是本发明实施例的控制电路原理图。
图中，1为光电编码器，2为光电编码器固定支架，3为直流电机输出轴，4为直流电机，5为直流电机固定支架，6为直流电机输出轴，7为飞轮惯性负载，8为飞轮惯性负载输出轴，9为弹性联轴器，10为力矩传感器，11为力矩传感器固定支架，12为基座，13为控制芯片电路，14为驱动芯片电路，15、16、17分别为光电编码器输出的A、B、Z相信号，18、19、20、21分别为驱动芯片电路产生的驱动频率调节信号，22为驱动芯片电路产生的驱动半桥电路调节信号，23、24、25、26、27、28分别为控制芯片电路产生的驱动芯片电路的信号，29为直流电机驱动控制电路。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。
如图1所示，本实施例提供了一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，包括基座12和设于基座12上的直流电机4，所述直流电机4一侧输出轴3与光电编码器1相连接，另一侧输出轴6与飞轮惯性负载7相连接，所述飞轮惯性负载7的输出轴8经弹性联轴器9与力矩传感器10相连接，所述光电编码器1的信号输出端、所述力矩传感器10的信号输出端分别接至控制系统；
其中，所述控制系统建立在鲁棒扰动补偿方案基础上，使用滑模控制器使得伺服系统轮廓跟踪误差最小，从而能获得更好的轮廓控制效能，鲁棒自适应控制器确保所有闭环信号都是有界的，最后状态向量的误差和期望的轨迹
Figure BDA00018006407600000911
收敛到给定曲线，从而能获得更好的控制效能；
假设直流电动机系统具有摩擦效应，
J(dω/dt)＝Tm-Tf-Bω (1)
其中J是总转动惯量，ω是直流电机角速度，Tm是直流电机的转矩，Tf是摩擦力矩，B是粘性阻尼系数，假定忽略电枢电感L，则Tm表示为：
Tm＝(VA-VB)(KT/R)＝(KAu-KBω) (2)
VA是电压放大器的输出，VB的反电动势电压，KT是电机的转矩常数，R为电枢电阻，KA是电压放大器的增益，u是控制电压，KB是反电动势常数，参数不确定系统建模：
Figure BDA0001800640760000091
Figure BDA0001800640760000092
注意，在方程(3)的项，加在字母上的^代表标称参数，Δ表示参数的变化，名义传递函数为
Figure BDA0001800640760000093
Tf为非线性摩擦力矩，从u到ω表示为：
Figure BDA0001800640760000094
模型不确定性函数定义为：
Figure BDA0001800640760000095
在此：
Figure BDA0001800640760000096
Figure BDA0001800640760000097
Figure BDA0001800640760000098
Figure BDA0001800640760000099
Figure BDA00018006407600000910
其中，P(s)和ΔP(s)是未知的，
Figure BDA0001800640760000101
是通过执行系统识别获得。
在本实施例中，所述联轴器为弹性联轴器。
在本实施例中，直流电机4、光电编码器1、力矩传感器10分别经直流电机固定支架5、光电编码器固定支架2、力矩传感器固定支架11固定于所述基座12上。
在本实施例中，所述控制系统包括直流电机驱动控制电路29，所述直流电机驱动控制电路29包括控制芯片电路13和驱动芯片电路14，所述基于信息的直流电机轮廓伺服控制器设于所述控制芯片电路中，所述光电编码器1的信号输出端与所述控制芯片电路13的相应输入端相连接，所述控制芯片电路13的输出端与所述驱动芯片电路14的相应输入端相连接，以驱动所述驱动芯片电路14，所述驱动芯片电路14的驱动频率调节信号输出端和驱动半桥电路调节信号输出端分别与所述直流电机4的相应输入端相连接。所述驱动芯片电路14产生驱动频率调节信号和驱动半桥电路调节信号，对直流电机输出A、B两相PWM的频率、相位及通断进行控制。通过开通及关断PWM波的输出来控制直流电机的启动和停止运行；通过调节输出的PWM波的频率及两相的相位差来调节电机的最佳运行状态。
在本实施例中，所述方程模型(3)中非线性摩擦力矩Tf作为未知干扰功能，用电流环补偿未知的摩擦力矩比较困难，因此，用Tef代替Tf，Tef表示非线性摩擦力矩，(3)被描述为：
Figure BDA0001800640760000102
如果Tef能够估计，补偿功能
Figure BDA0001800640760000103
将用于消除摩擦力矩和模型不确定性的影响，在此
Figure BDA0001800640760000104
是给出方程的名义转移函数的反函数，
由于摩擦衰减反馈回路涉及到倒置系统，系统
Figure BDA0001800640760000111
选择的是一个Hurwitz最小相位系统，输出角速度为:
Figure BDA0001800640760000112
Figure BDA0001800640760000113
u(s)表示控制器输出，补偿功能
Figure BDA0001800640760000114
为:
Figure BDA0001800640760000115
其中g是积分项的非负增益，F(s)是高截止频率的低通滤波器，方程(9)中的滤波器F(s)用于过滤高频测量噪声，定义参数误差函数为ρ(s)，由于模型的不确定性，有:
Figure BDA0001800640760000116
则方程(9)写成：
Figure BDA0001800640760000117
如方程(11)所示，
Figure BDA0001800640760000118
等于等价函数Tef(s)和参数误差函数ρ(s)的和，ρ(s)具有高增益g，当增益g被设计得较大时的跟踪效果得到改善，偿函数减小了摩擦力矩和参数误差函数对直流电动机系统的影响，添加补偿函数后，方程(6)中给出的模型改写为：
Figure BDA0001800640760000119
剩余扰动d(s)被定义为:
Figure BDA0001800640760000121
其中
Figure BDA0001800640760000122
表示转角对时间的导数d1(s)和d2(s)代表残余摩擦和残差模型的不确定性，并可以作为系统的干扰。
在本实施例中，由于无法完全消除未知摩擦和建模，该控制方案可与传统控制器，如鲁棒控制相结合，以抑制残余摩擦力和方程不完全补偿引起的模型不确定性。然而，补偿器抵消系统中大部分具有不确定性。因此，滑模控制器需要一个适当的增益来保持系统的鲁棒性，并且能够明显地减少抖振。(说明书)
结合方程(12)和(13)，列出以下动力学方程：
Figure BDA0001800640760000123
Figure BDA0001800640760000124
b＝(KAKT)/(RJ) (16)
其中
Figure BDA0001800640760000125
表示转角对时间的导数，u(t)表示控制器输出，对于方程(14)中给出的系统，作出以下假设。
假设一：
对于已知的非负常数δ1和δ2，干扰d1(t)和d2(t)，有：d1(t)＜δ1，d2(t)＜δ2||x(t)||. (17)
方程(14)中的动态参数f(t)不能完全确定，干扰δ1和δ2是有界的，动态参数f(t)和估计值
Figure BDA0001800640760000126
之间的估计误差由下列已知函数确定：
Figure BDA0001800640760000127
假设二：
方程(14)中的参数b的控制增益是未知的，但其具有已知边界bmax表示参数b的最大值，bmin表示参数b的最小值，
bmax≥b≥bmin＞0 (19)
假设三：
控制增益的估计值当做方程(19)中给出的边界几何平均值：
Figure BDA0001800640760000131
则边界变为：
Figure BDA0001800640760000132
Figure BDA0001800640760000133
定义一个时变状态向量为：
x(t)＝[θ(t) ω(t)]T (23)
将所需的时变状态定义为：
xd(t)＝[θd(t) ωd(t)]T (24)
跟踪误差矢量定义为：
Figure BDA0001800640760000134
开关状态s(t)＝0，在状态空间中定义为：
Figure BDA0001800640760000135
其中λ是严格正常数，证明：
Figure BDA0001800640760000136
控制律是：
Figure BDA0001800640760000137
其中，
Figure BDA0001800640760000141
Figure BDA0001800640760000142
且η是严格正常数，Ks表示符号函数的系数，F表示待定常数，
结合方程(14)方程(8)及(29)，做出了假设1,2,3，系统表面当且仅当方程(30)中所示的滑模控制增益成立时得到：当t→∞时x(t)-xd(t)→0，证明：
列出一个李雅普诺夫函数的情况：
Figure BDA0001800640760000143
由方程(27)，(28)，(29)得以下方程成立：
Figure BDA0001800640760000144
如果方程(32)满足滑模到达条件，则有：
Figure BDA0001800640760000145
则方程(32)写为：
Figure BDA0001800640760000146
因此，获得滑模增益是可能的。
Figure BDA0001800640760000147
因为：
Figure BDA0001800640760000148
结合方程(18)，则：
Figure BDA0001800640760000149
符合方程(30)，另一方面，假设滑模控制增益Ks符合方程(30)，方程(30)替换为方程(32)，然后，以方程(33)的形式导出条件，这也证明当t→∞时x(t)-xd(t)→0。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本发明的涵盖范围。

Claims (6)

1.一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，其特征在于：包括基座、直流电机、光电编码器、飞轮惯性负载、联轴器、力矩传感器，所述直流电机一侧输出轴与所述光电编码器连接，所述直流电机的另一侧输出轴与所述飞轮惯性负载连接，所述飞轮惯性负载的输出轴经联轴器与所述力矩传感器连接，所述光电编码器的信号输出端、所述力矩传感器的信号输出端均连接至控制系统；
其中，所述控制系统建立在鲁棒扰动补偿方案基础上，使用扰动补偿使得伺服系统轮廓跟踪误差最小，从而能获得更好的轮廓控制效能；
假设直流电动机系统具有摩擦效应，
J(dω/dt)＝Tm-Tf-Bω (1)
其中J是总转动惯量，ω是直流电机角速度，Tm是直流电机的转矩，Tf是非线性摩擦力矩，B是粘性阻尼系数，假定忽略电枢电感L，则Tm表示为：
Tm＝(VA-VB)(KT/R)＝(KAu-KBω) (2)
VA是电压放大器的输出，VB的反电动势电压，KT是电机的转矩常数，R为电枢电阻，KA是电压放大器的增益，u是控制电压，KB是反电动势常数，参数不确定系统建模：
Figure FDA0002883503120000011
Figure FDA0002883503120000012
注意，在方程(3)的项，加在字母上的^代表标称参数，Δ表示参数的变化，名义传递函数为
Figure FDA0002883503120000013
Tf为非线性摩擦力矩，从u到ω表示为：
Figure FDA0002883503120000014
模型不确定性函数定义为：
Figure FDA0002883503120000021
在此：
Figure FDA0002883503120000022
Figure FDA0002883503120000023
Figure FDA0002883503120000024
Figure FDA0002883503120000025
Figure FDA0002883503120000026
其中，P(s)和ΔP(s)是未知的，
Figure FDA0002883503120000027
是通过执行系统识别获得，P(s)表示从u到ω的传递函数。
2.根据权利要求1所述的一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，其特征在于：所述联轴器为弹性联轴器。
3.根据权利要求1所述的一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，其特征在于：所述直流电机、光电编码器、力矩传感器分别通过直流电机固定支架、光电编码器固定支架、力矩传感器固定支架固定于所述基座上。
4.根据权利要求1所述的一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，其特征在于：所述控制系统包括直流电机驱动控制电路，所述直流电机驱动控制电路包括控制芯片电路和驱动芯片电路，鲁棒控制器设于所述控制芯片电路中，所述光电编码器的信号输出端与所述控制芯片电路的相应输入端相连接，所述控制芯片电路的输出端与所述驱动芯片电路的相应输入端相连接，用以驱动所述驱动芯片电路，所述驱动芯片电路的驱动频率调节信号输出端和驱动半桥电路调节信号输出端分别与所述直流电机的相应输入端连接。
5.根据权利要求1所述的一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，其特征在于：所述方程(3)中非线性摩擦力矩Tf作为未知干扰功能，用电流环补偿未知的摩擦力矩比较困难，因此，用Tef代替Tf，Tef表示补偿的等价非线性摩擦力矩，方程(3)被描述为：
Figure FDA0002883503120000031
如果Tef能够估计，标称非线性摩擦力矩
Figure FDA0002883503120000032
将用于消除摩擦力矩和模型不确定性的影响，在此
Figure FDA0002883503120000033
是给出方程的名义转移函数的反函数，
由于摩擦衰减反馈回路涉及到倒置系统，系统名义传递函数
Figure FDA0002883503120000034
选择的是一个Hurwitz最小相位系统，输出角速度为:
Figure FDA0002883503120000035
Figure FDA0002883503120000036
u(s)表示控制器输出，标称补偿的等价非线性摩擦力矩
Figure FDA0002883503120000037
为：
Figure FDA0002883503120000038
其中g是积分项的非负增益，F(s)是高截止频率的低通滤波器，
Figure FDA0002883503120000039
表示补偿功能函数，u(s)表示u(s)表示控制器输出函数方程(9)中的滤波器F(s)用于过滤高频测量噪声，定义参数误差函数为ρ(s)，由于模型的不确定性，有：
Figure FDA00028835031200000310
则方程(9)写成：
Figure FDA00028835031200000311
如方程(11)所示，
Figure FDA00028835031200000312
等于等价函数Tef(s)和参数误差函数ρ(s)的和再乘以放大系数gF(s)/(s+gF(s))，ρ(s)具有高增益g，当增益g被设计得较大时的跟踪效果得到改善，补偿函数减小了摩擦力矩和参数误差函数对直流电动机系统的影响，添加补偿函数后，方程(6)中给出的模型改写为：
Figure FDA0002883503120000041
剩余扰动d(s)被定义为：
Figure FDA0002883503120000042
其中
Figure FDA0002883503120000043
表示转角对时间的导数，d1(s)和d2(s)代表残余摩擦和残差模型的不确定性，并作为系统的干扰。
6.根据权利要求5所述的一种基于鲁棒扰动补偿方案的直流电机伺服控制方法，其特征在于：
结合方程(12)和(13)，列出以下动力学方程：
Figure FDA0002883503120000044
Figure FDA0002883503120000045
b＝(KAKT)/(RJ) (16)
其中
Figure FDA0002883503120000046
表示转角对时间的导数，u(t)表示控制器输出，对于方程(14)中给出的系统，作出以下假设；
假设一：
对于已知的非负常数δ1和δ2，干扰d1(t)和d2(t)，有：d1(t)＜δ1，d2(t)＜δ2||x(t)||
(17)
方程(14)中的动态参数f(t)不能完全确定，干扰δ1和δ2是有界的，动态参数f(t)和估计值
Figure FDA0002883503120000047
之间的估计误差由下列已知函数确定：
Figure FDA0002883503120000048
Figure FDA0002883503120000049
表示由
Figure FDA00028835031200000410
决定的动态参数f(t)和估计值
Figure FDA00028835031200000411
之间的估计误差；
假设二：
方程(14)中的参数b的控制增益是未知的，但其具有已知边界bmax表示参数b的最大值，bmin表示参数b的最小值，
bmax≥b≥bmin＞0 (19)
假设三：
控制增益的估计值当做方程(19)中给出的边界几何平均值：
Figure FDA0002883503120000051
则边界变为：
Figure FDA0002883503120000052
Figure FDA0002883503120000053
定义一个时变状态向量为：
x(t)＝[θ(t) ω(t)]T (23)
θ(t) ω(t)分别表示随时间变化的角度和角加速度；
将所需的时变状态定义为：
xd(t)＝[θd(t) ωd(t)]T (24)
θd(t) ωd(t)分别表示随时间变化的给定角度和角加速度；
跟踪误差矢量定义为：
Figure FDA0002883503120000054
开关状态s(t)＝0，在状态空间中定义为：
Figure FDA0002883503120000055
其中λ是严格正常数，c表示正常数向量，证明：
Figure FDA0002883503120000061
控制律是：
Figure FDA0002883503120000062
s(t)表示随时间变化的开关状态函数；
其中，
Figure FDA0002883503120000063
Figure FDA0002883503120000064
表示由
Figure FDA0002883503120000065
决定的动态参数f(t)估计函数；
Figure FDA0002883503120000066
且η是严格正常数，Ks表示符号函数的系数，F表示待定常数，
结合方程(14)方程(8)及(29)，做出了假设1,2,3，系统表面当且仅当方程(30)中所示的滑模控制增益成立时得到：当t→∞时x(t)-xd(t)→0，证明：
列出一个李雅普诺夫函数的情况：
Figure FDA0002883503120000067
由方程(27)，(28)，(29)得以下方程成立：
Figure FDA0002883503120000068
如果方程(32)满足滑模到达条件，则有：
Figure FDA0002883503120000069
则方程(32)写为：
Figure FDA00028835031200000610
Figure FDA00028835031200000611
因为：
Figure FDA0002883503120000071
结合方程(18)，则：
Figure FDA0002883503120000072
符合方程(30)，另一方面，表示符号函数的系数Ks符合方程(30)，方程(30)替换为方程(32)，然后，以方程(33)的形式导出条件，这也证明当t→∞时x(t)-xd(t)→0。
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