CN108415241B - 一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流pid控制方法 - Google Patents
一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流pid控制方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明属于冶金行业过程控制技术领域，尤其涉及一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法。该方法对电熔镁炉熔炼过程的实时数据进行采集，根据电机转动频率，以及电极电流建立熔炼过程电极电流机理模型，并通过设计消除跟踪误差的补偿器来消除高阶非线性项变化率的影响，得到由PID控制器、前一拍高阶非线性项补偿器与高阶非线性项变化率补偿器之和组成的电熔镁炉电极电流控制器。该方法能够改善电流控制精度，满足工艺要求。
Description
技术领域
本发明属于冶金行业过程控制技术领域，尤其涉及一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法。
背景技术
电熔镁砂结构致密、熔点高、抗氧化、绝缘性强，是制造、冶金、化工、电气设备、航天工业等行业所需耐火材料的主要原料。电熔镁砂以菱镁矿石为原矿，采用我国特有的埋弧方式的电熔镁炉进行熔炼，熔炼过程中控制系统通过调整三相电极与熔池液面之间的位置来控制三相电极电流跟踪熔化电流，使之产生电弧，通过电弧放热使炉内原矿受热熔化形成熔液，边熔化边加料，当熔池升高到炉口上表面时熔炼结束，炉体通过小车被拖离熔炼工位，进行自然冷却，再经过人工破碎、分拣，最后生成电熔镁砂产品。
电熔镁炉是一种典型的高耗能设备，每熔炼一炉大约耗电40000千瓦时，电能成本占整个生产成本的60％以上。所以电熔镁炉的运行目标是将单吨合格产品所消耗的电能，即单吨能耗，控制在目标值范围内并使其尽可能小。只有将电极电流控制在熔化电流范围内，才能保证产品质量合格。只有将电极电流稳定控制在最佳熔化电流上才能保证单吨能耗最小。由于电熔镁炉的电流模型参数埋弧电阻率、熔池电阻率与熔池高度是未知非线性函数并随熔炼过程变化和原矿变化发生未知随机变化，导致熔炼过程始终处于动态变化之中，PID控制器的积分作用失效，无法将电极电流控制在目标值范围内，最终导致熔炼过程中的能源浪费严重、高品位率低、生产效率低。
发明内容
(一)要解决的技术问题
针对现有存在的技术问题，本发明提供一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法，够解决现有技术难以将电极电流控制稳定的问题。
(二)技术方案
为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：
一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法，其包括以下步骤：
步骤一：对电熔镁炉熔炼过程的实时数据进行采集；
步骤二：根据电机转动频率，以及电极电流建立熔炼过程电极电流机理模型；
步骤三：通过Taylor展开电极电流机理模型将其表示为低阶线性模型和高阶非线性项之和的形式；
将高阶非线性项表示为前一时刻高阶非线性项与高阶非线性项变化率的形式，得到电极电流控制器设计模型；
步骤四：针对低阶线性模型设计PID控制器，针对前一时刻高阶非线性项设计消除前一拍高阶非线性项的补偿器，通过采用一步最优前馈补偿律来设计PID控制器和前一拍高阶非线性项补偿器的参数；
通过设计消除跟踪误差的补偿器来消除高阶非线性项变化率的影响，得到由PID控制器、前一拍高阶非线性项补偿器与高阶非线性项变化率补偿器之和组成的电熔镁炉电极电流控制器。
作为上述基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法的一种优选方案，在步骤二中，针对电熔镁炉熔炼过程，ui(t)为输入，以电极电流yi(t)为输出的电流动态模型为：
其中，i＝1，2，3分别表示A、B、C三相电极，U表示熔炼电压，rd表示升降机构等效齿轮半径；riarc为埋弧等效弧柱半径；f1(B1,B2)和f2(B1,B2)分别表示埋弧电阻率和熔池电阻率，hipool(B1,B2,yi)为熔池高度,
表示熔池高度变化率，均为随B1和B2变化而变化的未知非线性函数，分别以f1(·)、f2(·)、hipool(·)、
表示f1(B1,B2)、f2(B1,B2)、hipool(B1,B2,yi)、hipool(B1,B2,yi)，上述参数的取值随熔炼过程变化和原料变化而变化。
作为上述基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法的一种优选方案，在步骤三中，通过电极电流模型的Taylor展开，电流模型(1)式可用如下线性模型和高阶非线性项来描述：
Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)+vi(k),i＝1,2,3 (2)
其中，Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)为确定线性模型，Ai(z-1)＝1+ai1z-1，Bi(z-1)＝bi0，利用电极电流输出数据和电机转动频率输入数据并通过最小二乘辨识确定Ai(z-1)、Bi(z-1)的参数；vi(k)为高阶非线性项，熔炼过程中埋弧电阻率、熔池电阻率和熔池高度随熔炼过程变化和原矿颗粒长度、杂质成分的变化导致电流动态特性的变化，由vi(k)来描述；
令Δvi(k)＝vi)k)-vi(k-1)为k时刻的高阶非线性项变化率，则由电极电流动态模型(2)式可得电极电流控制器设计模型为：
Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)+vi(k-1)+Δvi(k) (3)
令
则
为电极电流控制器驱动模型；
令(3)式中的k为k-1，于是可得电极电流控制器设计模型(3)式中k-1时刻的高阶非线性项vi(k-1)：
即：
作为上述基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法的一种优选方案，在步骤四中，采用模型(3)中的确定线性部分Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)可以设计PID控制器，由(4)式可知，前一时刻高阶非线性项vi(k-1)能够精确获得；
通过设计消除跟踪误差ei(k)的补偿器来消除Δvi(k)的影响，将上述补偿器产生的补偿信号ui2(k)、ui3(k)叠加到PID控制器的输出ui1(k)，于是得基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制器为：
ui(k)＝ui1(k)+ui2(k)+ui3(k) (5)。
作为上述基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法的一种优选方案，在步骤四中，电熔镁炉电极电流控制器的具体设计步骤如下：
步骤A：以(3)式的确定线性模型Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)设计PID控制器为：
Hi(z-1)ui1(k)＝Gi(z-1)ei(k) (6)
式中，Hi(z-1)＝1-z-1，Gi(z-1)＝gi0+gi1z-1+gi2z-2，gi0、gi1和gi2为PID控制参数，ei(k)＝ysp(k)-yi(k)为跟踪误差，ysp(k)为电流设定值；
步骤B：设计k-1时刻高阶非线性项vi(k-1)补偿器为：
ui2(k)＝-Ki(z-1)vi(k-1) (7)
式中，Ki(z-1)为补偿器的参数；
步骤C：采用一步最优前馈补偿律来求解Gi(z-1)和Ki(z-1)的参数，将(6)式中的ui1(k)和(7)式中的ui2(k)代入(5)式中得到ui(k)为：
Hi(z-1)ui(k)＝Gi(z-1)[ysp(k)-yi(k)]-Hi(z-1)Ki(z-1)vi(k-1)+Hi(z-1)ui3(k) (8)
步骤D：引入下列性能指标：
其中，Pi(z-1)、Ri(z-1)、Qi(z-1)和
均是关于z-1的加权多项式；
步骤E：引入广义输出φi(k+1)为：
φi(k+1)＝Pi(z-1)yi(k+1) (10)
步骤F：定义广义理想输出
为：
步骤G：定义(10)式中的Pi(z-1)为：
Pi(z-1)＝Ai(z-1)+z-1Gi(z-1) (12)
步骤H：由(3)式和(10)式可得：
Pi(z-1)yi(k+1)＝Gi(z-1)yi(k)+Bi(z-1)ui(k)+vi(k-1)+Δvi(k) (13)
步骤I：将(13)式代入(9)式，使J最小，即Jmin＝E{Δvi(k)}2，可得带有高阶非线性项补偿的一步最优控制律为：
步骤J：由(8)式和(14)式可得Qi(z-1)、Ri(z-1)和
为：
步骤K：将(14)式和(15)式代入电极电流控制器设计模型(3)式中得到电极电流闭环系统方程为：
步骤L：选择Gi(z-1)的参数gi0、gi1和gi2使(16)式所示闭环系统稳定，即：Ai(z-1)Hi(z-1)+z-1Bi(z-1)Gi(z-1)≠0,|z|＞1，从而得到PID控制器ui1(k)：
步骤M：由(16)式可知，为补偿vi(k-1)对电极电流的影响，选择Ki(z-1)使1-Bi(z-1)Ki(z-1)＝0，即：
于是得到前一时刻高阶非线性项vi(k-1)补偿器ui2(k)：
ui2(z-1)＝-kvi0vi(k-1) (18)
步骤N：于是(16)式为：
步骤O：虽然高阶非线性项变化率Δvi(k)未知，但其造成的跟踪误差ei(k)已知，因此以消除跟踪误差ei(k)为目标，设计补偿器ui3(k)，将(19)式两边同时减Ai(z-1)Hi(z-1)ysp(k+1)，可以将(19)式表示为以ei(k+1)为输出，以ui3(k)为输入的系统，即：
步骤P：为了消除ei(k+1)，引入一步最优调节律设计ui3(k)，引入下列性能指标：
J′＝min E{[ei(k+1)]2} (21)
步骤Q：引入Diophantine方程：
Ai(z-1)Hi(z-1)+z-1Bi(z-1)Gi(z-1)+z-1G′i(z-1)＝1 (22)
步骤R：由(22)式可得G′i(z-1)为：
G′i(z-1)＝Ai(z-1)-Bi(z-1)Gi(z-1)-ai1＝g′i0+g′i1z-1+g′i2z-2 (23)
其中，g′i0＝1-bi0gi0-ai1，g′i1＝ai1-bi0gi1，g′i2＝-bi0gi2。
步骤S：将(22)式代入(20)式中得：
步骤T：由(24)式可知，跟踪误差的一步最优预报e* i(k+1/k)为：
步骤U：令e* i(k+1/k)＝0，可得补偿信号ui3(k)为：
式中，高阶非线性项变化率补偿器参数G′i(z-1)由(23)式获得。
由(5)式、(17)式、(19)式和(26)式可知，由PID控制器、前一拍高阶非线性项补偿器与高阶非线性项变化率补偿器之和组成的基于高阶非线性项的电熔镁炉电极电流PID控制器ui(z-1)为：
(三)有益效果
本发明的有益效果是：本发明提供的控制方法，由PID控制器、前一拍高阶非线性项补偿器与高阶非线性项变化率补偿器组成，工业实验结果表明，所提出的算法能够改善电流控制精度，满足工艺要求。本发明的控制器设计方法对难以采用常规PID控制的复杂工业过程的控制器设计具有参考价值。
附图说明
图1为本发明具体实施方式提供的基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法结构图；
图2为采用常规PID控制算法时电熔镁炉三相电极电流y1、y2、y3的控制效果；
图3为采用本发明控制算法时电熔镁炉三相电极电流y1、y2、y3的控制效果。
具体实施方式
为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。
参照图1，本发明公开了一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法，包括如下步骤：
步骤一：对电熔镁炉熔炼过程的实时数据进行采集；
首先对实时数据进行采集并存储，需要采集的实时数据包括：电极电流和电机转动频率瞬时值。
电熔镁砂熔炼过程中，电极电流随着原料变化和熔炼过程变化而随机变化，受到频繁的随机干扰。这些干扰对三相电流瞬时值影响严重，因此需要对采集到的三相电流瞬时值进行滤波，再存入数据库中，以保证测量数据的准确性和有效性。
上述滤波采用均值滤波法，将采集到的本时刻及之前的连续5个电流数据求平均值，作为本时刻的电流数据。
步骤二：建立熔炼过程电极电流机理模型；
由电熔镁砂的熔炼工艺可知，电极电流高性能的控制影响着电熔镁砂产品的质量和单吨能耗，要分析电流特性，首先需要建立熔炼过程电极电流模型。电熔镁炉熔炼过程中，以电机转动频率ui(t)为输入，以电极电流yi(t)为输出的电流动态模型为：
其中，i＝1，2，3分别表示A、B、C三相电极，U表示熔炼电压，rd表示升降机构等效齿轮半径；riarc为埋弧等效弧柱半径；f1(B1,B2)和f2(B1,B2)分别表示埋弧电阻率和熔池电阻率，hipool(B1,B2,yi)为熔池高度,
表示熔池高度变化率，均为随B1和B2变化而变化的未知非线性函数，下文中简记为f1(·)、f2(·)、hipool(·)、
其取值随熔炼过程变化和原料变化而变化。
步骤三：建立熔炼过程电极电流控制器设计模型
通过电极电流模型的Taylor展开，电流模型(28)式可用如下线性模型和高阶非线性项来描述：
Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)+vi(k),i＝1,2,3 (29)
其中，Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)为确定线性模型，Ai(z-1)＝1+ai1z-1，Bi(z-1)＝bi0，利用电极电流输出数据和电机转动频率输入数据并通过最小二乘辨识确定Ai(z-1)、Bi(z-1)的参数；vi(k)为高阶非线性项，熔炼过程中埋弧电阻率、熔池电阻率和熔池高度随熔炼过程变化和原矿颗粒长度、杂质成分的变化导致电流动态特性的变化，由vi(k)来描述。
步骤四：高阶非线性项变化率
令Δvi(k)＝vi(k)-vi(k-1)为k时刻的高阶非线性项变化率，则由电极电流动态模型(29)式可得电极电流控制器设计模型为：
Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)+vi(k-1)+Δvi(k) (30)
步骤五：电极电流控制器驱动模型
令
则
为电极电流控制器驱动模型。
步骤六：求k-1时刻高阶非线性项vi(k-1)
令(29)式中的k为k-1，于是可得k-1时刻的高阶非线性项vi(k-1)为：
即：
在此步骤中，k-1时刻高阶非线性项vi(k-1)的求解包括以下具体步骤：
步骤a：采集电极电流和电机转动频率的历史数据，使用最小二乘法辨识电极电流控制器设计模型(30)中的参数ai1和bi0；
步骤b：采集k、k-1时刻的电极电流数据yi(k)、yi(k-1)和k-1时刻的电机转动频率ui(k-1)；
步骤c：代入高阶非线性项计算方程(31)得k-1时刻高阶非线性项：
vi(k-1)＝yi(k)+ai1yi(k-1)-bi0ui(k-1) (32)
步骤七：基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制器设计
采用模型(30)中的确定线性部分Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)可以设计PID控制器，由(32)式可知，前一时刻高阶非线性项vi(k-1)可以精确获得，因此可以设计消除其影响的控制器，虽然高阶非线性项变化率Δvi(k)未知，但可以通过设计消除跟踪误差ei(k)的补偿器来消除Δvi(k)的影响，将上述补偿器产生的补偿信号ui2(k)、ui3(k)叠加到PID控制器的输出ui1(k)，于是得基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制器为：
ui(k)＝ui1(k)+ui2(k)+ui3(k) (33)
步骤七中所述的基于高阶非线性项的PID控制器设计的具体步骤如下：
步骤A：以(30)式的确定线性模型Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)设计PID控制器为：
Hi(z-1)ui1(k)＝Gi(z-1)ei(k) (34)
式中，Hi(z-1)＝1-z-1，Gi(z-1)＝gi0+gi1z-1+gi2z-2，gi0、gi1和gi2为PID控制参数，ei(k)＝ysp(k)-yi(k)为跟踪误差，ysp(k)为电流设定值。
步骤B：设计k-1时刻高阶非线性项vi(k-1)补偿器为：
ui2(k)＝-Ki(z-1)vi(k-1) (35)
式中，Ki(z-1)为补偿器的参数。
步骤C：采用一步最优前馈补偿律来求解Gi(z-1)和Ki(z-1)的参数，将(34)式中的ui1(k)和(35)式中的ui2(k)代入(33)式中得到ui(k)为：
Hi(z-1)ui(k)＝Gi(z-1)[ysp(k)-yi(k)]-Hi(z-1)Ki(z-1)vi(k-1)+Hi(z-1)ui3(k) (36)
步骤D：引入下列性能指标：
其中，Pi(z-1)、Ri(z-1)、Qi(z-1)和
均是关于z-1的加权多项式。
步骤E：引入广义输出φi(k+1)为：
φi(k+1)＝Pi(z-1)yi(k+1) (38)
步骤F：定义广义理想输出
为：
步骤G：定义(38)式中的Pi(z-1)为：
Pi(z-1)＝Ai(z-1)+z-1Gi(z-1) (40)
步骤H：由(30)式和(38)式可得：
Pi(z-1)yi(k+1)＝Gi(z-1)yi(k)+Bi(z-1)ui(k)+vi(k-1)+Δvi(k) (41)
步骤I：将(41)式代入(37)式，使J最小(Jmin＝E{Δvi(k)}2)可得带有高阶非线性项补偿的一步最优控制律为：
步骤J：由(36)式和(42)式可得Qi(z-1)、Ri(z-1)和
为：
步骤K：将(42)式和(43)式代入电极电流控制器设计模型(30)式中得到电极电流闭环系统方程为：
步骤L：选择Gi(z-1)的参数gi0、gi1和gi2使(44)式所示闭环系统稳定，即：Ai(z-1)Hi(z-1)+z-1Bi(z-1)Gi(z-1)≠0,|z|＞1，从而得到PID控制器ui1(k)：
步骤M：由(44)式可知，为补偿vi(k-1)对电极电流的影响，选择Ki(z-1)使1-Bi(z-1)Ki(z-1)＝0，即：
于是得到前一时刻高阶非线性项vi(k-1)补偿器ui2(k)：
ui2(z-1)＝-kvi0vi(k-1) (46)
步骤N：于是(44)式为：
步骤O：虽然高阶非线性项变化率Δvi(k)未知，但其造成的跟踪误差ei(k)已知，因此以消除跟踪误差ei(k)为目标，设计补偿器ui3(k)，将(47)式两边同时减Ai(z-1)Hi(z-1)ysp(k+1)，可以将(47)式表示为以ei(k+1)为输出，以ui3(k)为输入的系统，即：
步骤P：为了尽可能地消除ei(k+1)，引入一步最优调节律设计ui3(k)，引入下列性能指标：
J′＝min E{[ei(k+1)]2} (49)
步骤Q：引入Diophantine方程：
Ai(z-1)Hi(z-1)+z-1Bi(z-1)Gi(z-1)+z-1G′i(z-1)＝1 (50)
步骤R：由(50)式可得G′i(z-1)为：
G′i(z-1)＝Ai(z-1)-Bi(z-1)Gi(z-1)-ai1＝g′i0+g′i1z-1+g′i2z-2 (51)
其中，g′i0＝1-bi0gi0-ai1，g′i1＝ai1-bi0gi1，g′i2＝-bi0gi2。
步骤S：将(50)式代入(48)式中得：
步骤T：由(52)式可知，跟踪误差的一步最优预报e* i(k+1/k)为：
步骤U：令e* i(k+1/k)＝0，可得补偿信号ui3(k)为：
式中，高阶非线性项变化率补偿器参数G′i(z-1)由(51)式获得。
由(33)式、(45)式、(46)式和(54)式可知，由PID控制器、前一拍高阶非线性项补偿器与高阶非线性项变化率补偿器之和组成的基于高阶非线性项的电熔镁炉电极电流PID控制器ui(z-1)为：
将以上所述的控制方法应用到电熔镁炉熔炼过程中，控制器使用西门子S7300-PLC控制系统来实现。
本发明根据电熔镁炉的工艺特点，所设计的控制器参数具体为：
控制器设计模型参数：ai1＝-1.002z-1,bi0＝-0.461
电极电流设定值：14500A
PID控制器参数：gi0＝-1.23,gi1＝1.45,gi2＝-0.76
前一时刻高阶非线性项补偿器参数：kvi0＝-3.4
高阶非线性项变化率补偿器参数：g′i0＝1.46,g′i1＝-0.183,g′i2＝-0.261
使用本发明可以较好的实现电熔镁炉熔炼过程中对电极电流的自动控制。图2和图3分别表示在传统PID控制下和在本发明的控制下三相电极电流值的变化情况，通过图2和图3可以看出，采样周期同为1s的情况下，在PID控制下电极电流波动很大，实际电流值与电流设定值偏差较大；而在本发明的控制方法下的电极电流波动明显小于PID控制下的情况，可以将电熔镁砂熔炼过程电极电流控制在目标范围内，满足工艺要求。
这说明本发明在对电极电流的控制方面要优于传统PID控制方法，对难以采用常规PID控制方法的复杂工业过程的控制器设计具有参考价值，对实际生产具有指导意义。
以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。
Claims (1)
1.一种基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一：对电熔镁炉熔炼过程的实时数据进行采集；
步骤二：根据电机转动频率，以及电极电流建立熔炼过程电极电流机理模型；
步骤三：通过Taylor展开电极电流机理模型将其表示为低阶线性模型和高阶非线性项之和的形式；
将高阶非线性项表示为前一时刻高阶非线性项与高阶非线性项变化率的形式，得到电极电流控制器设计模型；
步骤四：针对低阶线性模型设计PID控制器，针对前一时刻高阶非线性项设计消除前一拍高阶非线性项的补偿器，通过采用一步最优前馈补偿律来设计PID控制器和前一拍高阶非线性项补偿器的参数；
通过设计消除跟踪误差的补偿器来消除高阶非线性项变化率的影响，得到由PID控制器、前一拍高阶非线性项补偿器与高阶非线性项变化率补偿器之和组成的电熔镁炉电极电流控制器，其中，
电熔镁炉电极电流控制器的输出ui(k)＝ui1(k)+ui2(k)+ui3(k)，其中，ui1(k)为PID控制器的输出，ui2(k)为前一拍高阶非线性项补偿器的输出，ui3(k)为高阶非线性项变化率补偿器的输出，前一拍高阶非线性项补偿器的输出ui2(k)根据电极电流控制器驱动模型输入与输出之间的差值计算得到；
在步骤二中，针对电熔镁炉熔炼过程，ui(t)为输入，以电极电流yi(t)为输出的电流动态模型为：
其中，i＝1，2，3分别表示A、B、C三相电极，U表示熔炼电压，rd表示升降机构等效齿轮半径；riarc为埋弧等效弧柱半径；f1(B1,B2)和f2(B1,B2)分别表示埋弧电阻率和熔池电阻率，hipool(B1,B2,yi)为熔池高度,
表示熔池高度变化率，均为随B1和B2变化而变化的未知非线性函数，分别以f1(·)、f2(·)、hipool(·)、
表示f1(B1,B2)、f2(B1,B2)、hipool(B1,B2,yi)、hipool(B1,B2,yi)，上述参数的取值随熔炼过程变化和原料变化而变化；
在步骤三中，通过电极电流模型的Taylor展开，电流模型(1)式可用如下线性模型和高阶非线性项来描述：
Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)+vi(k),i＝1,2,3 (2)
其中，Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)为确定线性模型，Ai(z-1)＝1+ai1z-1，Bi(z-1)＝bi0，利用电极电流输出数据和电机转动频率输入数据并通过最小二乘辨识确定Ai(z-1)、Bi(z-1)的参数；vi(k)为高阶非线性项，熔炼过程中埋弧电阻率、熔池电阻率和熔池高度随熔炼过程变化和原矿颗粒长度、杂质成分的变化导致电流动态特性的变化，由vi(k)来描述；
令Δvi(k)＝vi(k)-vi(k-1)为k时刻的高阶非线性项变化率，则由电极电流动态模型(2)式可得电极电流控制器设计模型为：
Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)+vi(k-1)+Δvi(k) (3)
令
则
为电极电流控制器驱动模型；
令(3)式中的k为k-1，于是可得电极电流控制器设计模型(3)式中k-1时刻的高阶非线性项vi(k-1)：
即：
在步骤四中，采用模型(3)中的确定线性部分Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)设计PID控制器，由(4)式可知，前一时刻高阶非线性项vi(k-1)能够精确获得；
通过设计消除跟踪误差ei(k)的补偿器来消除Δvi(k)的影响，将上述补偿器产生的补偿信号ui2(k)、ui3(k)叠加到PID控制器的输出ui1(k)，于是得基于高阶非线性项的电熔镁炉三相电流PID控制器为：
ui(k)＝ui1(k)+ui2(k)+ui3(k) (5)；
在步骤四中，电熔镁炉电极电流控制器的具体设计步骤如下：
步骤A：以(3)式的确定线性模型Ai(z-1)yi(k+1)＝Bi(z-1)ui(k)设计PID控制器为：
Hi(z-1)ui1(k)＝Gi(z-1)ei(k) (6)
式中，Hi(z-1)＝1-z-1，Gi(z-1)＝gi0+gi1z-1+gi2z-2，gi0、gi1和gi2为PID控制参数，ei(k)＝ysp(k)-yi(k)为跟踪误差，ysp(k)为电流设定值；
步骤B：设计k-1时刻高阶非线性项vi(k-1)补偿器为：
ui2(k)＝-Ki(z-1)vi(k-1) (7)
式中，Ki(z-1)为补偿器的参数；
步骤C：采用一步最优前馈补偿律来求解Gi(z-1)和Ki(z-1)的参数，将(6)式中的ui1(k)和(7)式中的ui2(k)代入(5)式中得到ui(k)为：
Hi(z-1)ui(k)＝Gi(z-1)[ysp(k)-yi(k)]-Hi(z-1)Ki(z-1)vi(k-1)+Hi(z-1)ui3(k) (8)
步骤D：引入下列性能指标：
其中，Pi(z-1)、Ri(z-1)、Qi(z-1)和
均是关于z-1的加权多项式；
步骤E：引入广义输出φi(k+1)为：
φi(k+1)＝Pi(z-1)yi(k+1) (10)
步骤F：定义广义理想输出
为：
步骤G：定义(10)式中的Pi(z-1)为：
Pi(z-1)＝Ai(z-1)+z-1Gi(z-1) (12)
步骤H：由(3)式和(10)式可得：
Pi(z-1)yi(k+1)＝Gi(z-1)yi(k)+Bi(z-1)ui(k)+vi(k-1)+Δvi(k) (13)
步骤I：将(13)式代入(9)式，使J最小，即Jmin＝E{Δvi(k)}2，可得带有高阶非线性项补偿的一步最优控制律为：
步骤J：由(8)式和(14)式可得Qi(z-1)、Ri(z-1)和
为：
步骤K：将(14)式和(15)式代入电极电流控制器设计模型(3)式中得到电极电流闭环系统方程为：
步骤L：选择Gi(z-1)的参数gi0、gi1和gi2使(16)式所示闭环系统稳定，即：Ai(z-1)Hi(z-1)+z-1Bi(z-1)Gi(z-1)≠0,|z|＞1，从而得到PID控制器ui1(k)：
步骤M：由(16)式可知，为补偿vi(k-1)对电极电流的影响，选择Ki(z-1)使1-Bi(z-1)Ki(z-1)＝0，即：
于是得到前一时刻高阶非线性项vi(k-1)补偿器ui2(k)：
ui2(z-1)＝-kvi0vi(k-1) (18)
步骤N：于是(16)式为：
步骤O：虽然高阶非线性项变化率Δvi(k)未知，但其造成的跟踪误差ei(k)已知，因此以消除跟踪误差ei(k)为目标，设计补偿器ui3(k)，将(19)式两边同时减Ai(z-1)Hi(z-1)ysp(k+1)，可以将(19)式表示为以ei(k+1)为输出，以ui3(k)为输入的系统，即：
步骤P：为了消除ei(k+1)，引入一步最优调节律设计ui3(k)，引入下列性能指标：
J′＝minE{[ei(k+1)]2} (21)
步骤Q：引入Diophantine方程：
Ai(z-1)Hi(z-1)+z-1Bi(z-1)Gi(z-1)+z-1G′i(z-1)＝1 (22)
步骤R：由(22)式可得G′i(z-1)为：
G′i(z-1)＝Ai(z-1)-Bi(z-1)Gi(z-1)-ai1＝g′i0+g′i1z-1+g′i2z-2 (23)
其中，g′i0＝1-bi0gi0-ai1，g′i1＝ai1-bi0gi1，g′i2＝-bi0gi2；
步骤S：将(22)式代入(20)式中得：
步骤T：由(24)式可知，跟踪误差的一步最优预报e* i(k+1/k)为：
步骤U：令e* i(k+1/k)＝0，可得补偿信号ui3(k)为：
式中，高阶非线性项变化率补偿器参数G′i(z-1)由(23)式获得；
由(5)式、(17)式、(19)式和(26)式可知，由PID控制器、前一拍高阶非线性项补偿器与高阶非线性项变化率补偿器之和组成的基于高阶非线性项的电熔镁炉电极电流PID控制器ui(z-1)为：
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