CN107063104B - 基于光栅尺和二维psd的平面电机动子位置测量系统及方法 - Google Patents

Abstract

基于光栅尺和二维PSD的平面电机动子位置测量系统及方法，属于半导体装备技术领域。本发明采用的测量系统包括一个X方向光栅尺，一个Y方向光栅尺以及三个激光头和三个二维PSD传感器。其中X方向光栅尺和Y方向光栅尺分别对平面电机动子在X方向和Y方向的主要行程进行测量，而每一对激光头和二维PSD传感器都可以测量动子在X、Y和Z三个方向中指定的两个方向的位移，三对激光头和二维PSD传感器可以覆盖动子在X、Y和Z三个方向的运动信息；本发明提供的测量方法基于以上测量系统测得的数据进行动子位置解算，可以得到平面电机动子在平面电机定子固定坐标系下全部六自由度的位移。

Description

基于光栅尺和二维PSD的平面电机动子位置测量系统及方法

技术领域

本发明属于半导体装备技术领域，涉及一种基于光栅尺和二维PSD传感器的平面电机动子位置六自由度测量方法。

背景技术

平面电机是一种不经中间结构转换，直接将电磁能转换为平面运动的装备，具有高精度、灵敏度高、随动性好等诸多优点，因此逐渐引起企业和学者的关注，目前已在半导体加工等二维平面定位平面加工领域取得应用。

平面电机运用到高精度的运动系统中时，为了实现高精度的运动控制，需要对平面电机的运动情况进行反馈，即需要对平面电机的运动进行有效的测量。平面电机动子主要在二维平面上进行大行程的运动，而其它方向上因为耦合和振动等因素也会有微小的振动，但由于高精度平面电机运动系统对精度要求较高，因此这些微小的振动也需要予以测量和控制。因此在运动平面内的测量需要同时兼具大行程和高精度的特点，相比之下，在其它方向上可以用测量范围较小但精度较高的传感器完成，对平面电机动子的运动进行六自由度的准确测量，有助于提高控制性能，进一步提升平面电机的运动精度。

发明内容

本发明的目的在于针对平面电机高精度运动控制的需求，提供一种结构简单、测量精度高的平面电机动子六自由度测量系统，使其满足平面电机动子大行程二维平面运动的位移测量要求。

本发明的技术方案如下：

本发明提供的基于光栅尺和二维PSD传感器的平面电机动子位置测量系统：该测量系统包括一号导杆、二号导杆、滑块、一号激光头、一号PSD传感器、二号激光头、二号PSD传感器、三号激光头、三号PSD传感器、X方向光栅尺和Y方向光栅尺；所述一号导杆与二号导杆均与线缆台固联，随动子运动沿Y向平移；所述滑块安装于二号导杆上，随动子沿X方向运动，随二号导杆沿Y向运动；所述的一号激光头安装于二号导杆上，一号PSD传感器安装于平面电机动子上表面，一号PSD传感器接收一号激光头沿X方向发射的激光信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息；二号激光头安装于滑块上，二号PSD传感器安装于平面电机动子上表面，二号PSD传感器接收二号激光头沿Y方向发射的激光信号，并读取平面电机动子在X方向和Z方向的位移信息；三号激光头安装于一号导杆上，三号PSD传感器安装于平面电机动子上表面，三号PSD传感器接收三号激光头沿X方向发射的激光信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息；所述X方向光栅尺的读数头安装于滑块上，标尺贴于二号导杆靠近动子一侧的侧面上，用于测量动子在X方向的位移；所述Y方向光栅尺的读数头安装于线缆台上，标尺贴于平面电机定子侧面边缘，用于测量平面电机动子在Y方向的位移。

本发明提供的基于光栅尺和二维PSD传感器的平面电机动子位置测量方法，其包含以下步骤：

1)建立定子上的固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A和动子上的随动坐标系O-XYZ，随动坐标系中X轴沿着初始时刻一号导杆的方向，Y轴沿着垂直于一号导杆的方向，Z轴垂直于平面电机动子上表面，原点在动子几何中心，两个坐标系在初始时刻完全重合；

2)记录与各激光头安装位置相关的常数，该相关常数包括：一号激光头所发射的直线激光信号与动子随动坐标系XOZ平面的距离a、一号PSD传感器靶平面与随动坐标系YOZ平面的距离b、二号PSD传感器靶平面与XOZ平面的距离c、二号激光头所发射的直线激光信号与随动坐标系YOZ平面的距离d、三号激光头所发射的直线激光信号与随动坐标系XOZ平面的距离e、三号PSD传感器靶平面与随动坐标系YOZ平面的距离f和一号激光头所发射的直线激光信号与随动坐标系XOY平面的距离h；

3)记录各传感器当前伺服周期的读数：其中一号PSD传感器的读数记为(Y₁,Z₁)，二号PSD传感器的读数记为(X₂,Z₂)，三号PSD传感器的读数记为(Y₃,Z₃)，X方向光栅尺的读数记为x_abs，Y方向光栅尺的读数记为y_abs；

4)计算平面电机动子六个自由度的位移(x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z)，其中x是平面电机动子在定子固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿X_A方向平动的位移，y是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿Y_A方向平动的位移，z是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿Z_A方向平动的位移，θ_x是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕X_A轴转动的角度，θ_y是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕Y_A轴转动的角度，θ_z是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕Z_A轴转动的角度，具体步骤如下：

i.进行如下计算：

T₁＝b+f，T₂＝a+e，y_C1＝-a-Y₁，z_C1＝h-Z₁

x_C2＝-d-X₂，z_C2＝h-Z₂，y_C3＝e-Y₃，z_C3＝h-Z₃

其中T₁、T₂、y_C1、z_C1、x_C2、z_C2、y_C3和z_C3均为中间参数；

ii.进一步计算：

S₁＝y_C1-y_C3，S₂＝z_C1-z_C3，S₃＝x_C2-b，S₄＝y_C1+c，S₅＝z_C2-z_C1

其中S₁、S₂、S₃、S₄和S₅均为中间参数；

iii.计算cosθ_x、sinθ_x、cosθ_y和sinθ_y：

S₆＝(S₅T₁-S₂S₃)/(S₄T₁-S₁S₃)，S₇＝(S₂+S₁S₆)/T₁

其中S₆和S₇为中间参数，而cosθ_x＝S₈、sinθ_x＝S₉、cosθ_y＝S₁₀、sinθ_y＝S₁₁；

iv.计算cosθ_z和sinθ_z：

S₁₂＝S₁-(S₉S₁₁/S₁₀)T₁，S₁₃＝(S₈/S₁₀)T₁，S₁₄＝S₈T₂，

其中S₁₂、S₁₃、S₁₄和S₁₅均为中间参数，而cosθ_z＝S₁₆、sinθ_z＝S₁₇；

v.计算x、y和z：

S₁₈＝S₈S₁₇-S₉S₁₁S₁₆，S₁₉＝S₉S₁₁S₁₇+S₈S₁₆

S₂₀＝S₉S₁₇+S₈S₁₁S₁₆，S₂₁＝S₈S₁₁S₁₇-S₉S₁₆

S₂₂＝-S₁₀S₁₆x_C2-S₂₀z_C2-S₁₈c+x_abs-d

S₂₃＝[-(y_C1+y_C3)S₁₉-(z_C1+z_C3)S₂₁+(f-b)S₁₀S₁₇+2y_abs+e-a]/2

S₂₄＝[-(z_C1+z_C2+z_C3)S₈S₁₀+(c-y_C1-y_C3)S₉S₁₀+(x_C2+b-f)S₁₁+3h]/3

其中S₁₈、S₁₉、S₂₀和S₂₁均为中间参数，而x＝S₂₂、y＝S₂₃、z＝S₂₄；

vi.得出六个自由度的位移：

x＝S₂₂，y＝S₂₃，z＝S₂₄

θ_x≈sinθ_x＝S₉，θ_y≈sinθ_y＝S₁₀，θ_z≈sinθ_z＝S₁₇。

本发明具有以下优点及突出的技术效果：本发明利用两个光栅尺测量平面电机动子在运动平面内的大行程位移，利用三组PSD传感器测量装置测量在大行程位移之外的微小位移，两者相结合，使得本发明所述的测量方法同时兼具了对平面电机动子大行程和高精度的测量；同时，本发明所述的测量方法步骤简便，可以实现平面电机动子全部六个自由度的位移测量。

附图说明

图1是本发明所采用的测量系统简化模型(俯视图和左视图)及各个常数示意图。

图2是本发明所述测量方法的信号传输框图。

图中：1-一号导杆；2-二号导杆；3-滑块；4-一号激光头；5-一号PSD传感器；6-二号激光头；7-二号PSD传感器；8-三号激光头；9-三号PSD传感器；10-X方向的光栅尺；11-Y方向的光栅尺；12-平面电机动子；13-平面电机定子。

具体实施方式

下面结合附图及实施例进一步说明本发明具体结构、工作原理的内容。

图1是本发明所采用的测量系统简化模型(俯视图和左视图)及各个常数示意图，测量系统主要包括一号导杆1、二号导杆2、滑块3、一号激光头4、一号PSD传感器5、二号激光头6、二号PSD传感器7、三号激光头8、三号PSD传感器9、X方向光栅尺10和Y方向光栅尺11；所述一号导杆1与二号导杆2均与线缆台固联，随动子运动沿Y向平移；所述滑块3安装于二号导杆2上，随动子沿X方向运动，随二号导杆2沿Y向运动；所述的一号激光头4安装于二号导杆2上，一号PSD传感器5安装于平面电机动子12上表面，一号PSD传感器5接收一号激光头4沿X方向发射的激光信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息；二号激光头6安装于滑块3上，二号PSD传感器7安装于平面电机动子12上表面，二号PSD传感器7接收二号激光头6沿Y方向发射的激光信号，并读取平面电机动子12在X方向和Z方向的位移信息；三号激光头8安装于一号导杆1上，三号PSD传感器9安装于平面电机动子12上表面，三号PSD传感器9接收三号激光头8沿X方向发射的激光信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息；所述X方向光栅尺10的读数头安装于滑块3上，标尺贴于二号导杆2靠近动子一侧的侧面上，用于测量动子在X方向的位移；

所述Y方向光栅尺11的读数头安装于线缆台上，标尺贴于平面电机定子13侧面边缘，用于测量平面电机动子在Y方向的位移；当平面电机的动子运动时，一号导杆1和二号导杆2始终在其两侧，平面电机动子12的运动可以分解为两个导杆在Y方向的平动以及动子相对于两个导杆的X方向的平动，两者相互垂直。其中Y方向光栅尺11可以测量导杆在Y方向的运动，也就是动子在Y方向的运动分量。X方向光栅尺10读数头安装于滑块3上，标尺贴于二号导杆2靠近动子一侧的侧面上，动子相对于导杆在X方向运动时，滑块3跟着同步运动，因此可用此X方向光栅尺10测量动子相对于二号导杆2的运动，即动子在X方向的运动分量。由于光栅尺测量的行程较长，精度相对较低，二维PSD传感器测量范围较小，但精度较高，因此用二维PSD传感器可以弥补光栅尺测量的误差，同时检测动子在Z方向的微小运动，光栅尺和二维PSD传感器的组合同时实现了大行程和高精度的测量。同时，利用光栅尺和各个二维PSD传感器的读数，还可计算平面电机动子的旋转位移，从而实现平面电机动子在固定坐标系中的六自由度位移计算。

所述测量方法包含以下步骤：

1)建立定子上的固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A和动子上的随动坐标系O-XYZ，随动坐标系中X轴沿着初始时刻一号导杆1的方向，Y轴沿着垂直于一号导杆1的方向，Z轴垂直于平面电机动子12上表面，原点在动子几何中心，两个坐标系在初始时刻完全重合；

2)记录与各激光头安装位置相关的常数，该相关常数包括：一号激光头4所发射的直线激光信号与动子随动坐标系XOZ平面的距离a、一号PSD传感器5靶平面与随动坐标系YOZ平面的距离b、二号PSD传感器7靶平面与XOZ平面的距离c、二号激光头6所发射的直线激光信号与随动坐标系YOZ平面的距离d、三号激光头8所发射的直线激光信号与随动坐标系XOZ平面的距离e、三号PSD传感器9靶平面与随动坐标系YOZ平面的距离f和一号激光头4所发射的直线激光信号与随动坐标系XOY平面的距离h；

3)记录各传感器当前伺服周期的读数：其中一号PSD传感器5的读数记为(Y₁,Z₁)，二号PSD传感器7的读数记为(X₂,Z₂)，三号PSD传感器9的读数记为(Y₃,Z₃)，X方向光栅尺10的读数记为x_abs，Y方向光栅尺11的读数记为y_abs；

4)计算平面电机动子六个自由度的位移(x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z)，其中x是平面电机动子在定子固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿X_A方向平动的位移，y是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿Y_A方向平动的位移，z是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿Z_A方向平动的位移，θ_x是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕X_A轴转动的角度，θ_y是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕Y_A轴转动的角度，θ_z是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕Z_A轴转动的角度，具体步骤如下：

i.进行如下计算：

T₁＝b+f，T₂＝a+e，y_C1＝-a-Y₁，z_C1＝h-Z₁

x_C2＝-d-X₂，z_C2＝h-Z₂，y_C3＝e-Y₃，z_C3＝h-Z₃

其中T₁、T₂、y_C1、z_C1、x_C2、z_C2、y_C3和z_C3均为中间参数；

ii.进一步计算：

S₁＝y_C1-y_C3，S₂＝z_C1-z_C3，S₃＝x_C2-b，S₄＝y_C1+c，S₅＝z_C2-z_C1

其中S₁、S₂、S₃、S₄和S₅均为中间参数；

iii.计算cosθ_x、sinθ_x、cosθ_y和sinθ_y：

S₆＝(S₅T₁-S₂S₃)/(S₄T₁-S₁S₃)，S₇＝(S₂+S₁S₆)/T₁

其中S₆和S₇为中间参数，而cosθ_x＝S₈、sinθ_x＝S₉、cosθ_y＝S₁₀、sinθ_y＝S₁₁；

iv.计算cosθ_z和sinθ_z：

S₁₂＝S₁-(S₉S₁₁/S₁₀)T₁，S₁₃＝(S₈/S₁₀)T₁，S₁₄＝S₈T₂，

其中S₁₂、S₁₃、S₁₄和S₁₅均为中间参数，而cosθ_z＝S₁₆、sinθ_z＝S₁₇；

v.计算x、y和z：

S₁₈＝S₈S₁₇-S₉S₁₁S₁₆，S₁₉＝S₉S₁₁S₁₇+S₈S₁₆

S₂₀＝S₉S₁₇+S₈S₁₁S₁₆，S₂₁＝S₈S₁₁S₁₇-S₉S₁₆

S₂₂＝-S₁₀S₁₆x_C2-S₂₀z_C2-S₁₈c+x_abs-d

S₂₃＝[-(y_C1+y_C3)S₁₉-(z_C1+z_C3)S₂₁+(f-b)S₁₀S₁₇+2y_abs+e-a]/2

S₂₄＝[-(z_C1+z_C2+z_C3)S₈S₁₀+(c-y_C1-y_C3)S₉S₁₀+(x_C2+b-f)S₁₁+3h]/3

其中S₁₈、S₁₉、S₂₀和S₂₁均为中间参数，而x＝S₂₂、y＝S₂₃、z＝S₂₄；

vi.得出六个自由度的位移：

x＝S₂₂，y＝S₂₃，z＝S₂₄

θ_x≈sinθ_x＝S₉，θ_y≈sinθ_y＝S₁₀，θ_z≈sinθ_z＝S₁₇。

上述测量方法中平面电机动子六自由度位移计算的主要原理如下：

假设在任意时刻动子在定子固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A中的位姿为(x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z)；根据刚体旋转的齐次变换原理，两个坐标系下旋转矩阵的逆矩阵为：

其中：

因此若某一固定点在固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A中的坐标为(x_A,y_A,z_A)，在随动坐标系O-XYZ中的坐标为(x_C,y_C,z_C)，则有：

(x_C,y_C,z_C,1)^T＝Q^-1×(x_A,y_A,z_A,1)^T (1)

以下推导中以(x_A,y_A,z_A)和(x_C,y_C,z_C)代表空间中任意一点分别在固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A和随动坐标系O-XYZ中的表示；

针对一号PSD传感器5传感器，其感光板平面在O-XYZ中的方程为：

x_C＝b

根据(1)式有：

A₁x_A+B₁y_A-C₁z_A-A₁x-B₁y+C₁z＝b (2)

一号激光头4发射的光束在O_A-X_AY_AZ_A中的方程为：

y_A＝y_abs-a,z_A＝h (3)

联立式(2)和(3)可得：

一号PSD传感器5的读数为(Y₁,Z₁)，则激光光斑在O-XYZ中坐标为(b,-a-Y₁,h-Z₁)，则根据式(1)有：

联立式(4)和(5)可得：

化简可得：

针对剩余两组PSD传感器测量设备，即二号激光头6和二号PSD传感器7、三号激光头8和三号PSD传感器9进行类似计算，依次可得式(7)和(8)如下：

令-a-Y₁＝y_C1，h-Z₁＝z_C1，-d-X₂＝x_C2，h-Z₂＝z_C2，e-Y₃＝y_C3，h-Z₃＝z_C3，则联立式(6)和(8)有：

由式(9)的两个式子可以导出式(10)如下：

同理联合式(6)和(7)最终可得式(11)如下：

令T₁＝b+f，T₂＝a+e，S₁＝y_C1-y_C3，S₂＝z_C1-z_C3，S₃＝x_C2-b，S₄＝y_C1+c，S₅＝z_C2-z_C1，则联立式(10)和式(11)可得：

根据C₁、C₂和C₃定义有：

因此有：

将A₁＝cosθ_ycosθ_z、A₂＝cosθ_xsinθ_z-sinθ_xsinθ_ycosθ_z和C₃＝cosθ_xcosθ_y代入式(9)第一个式子可得：

两边平方并利用sin²θ_z＝1-cos²θ_z可得到一个关于cosθ_z的二次方程，令S₁₂＝S₁-(S₉S₁₁/S₁₀)T₁，S₁₃＝(S₈/S₁₀)T₁，S₁₄＝S₈T₂，求解方程可得：

根据定义，可以得到如下结果：

A₁＝S₁₀S₁₆，B₁＝S₁₀S₁₇，C₁＝S₁₁

A₂＝S₈S₁₇-S₉S₁₁S₁₆＝S₁₈，B₂＝S₉S₁₁S₁₇+S₈S₁₆＝S₁₉，C₂＝S₉S₁₀

A₃＝S₉S₁₇+S₈S₁₁S₁₆＝S₂₀，B₃＝S₈S₁₁S₁₇-S₉S₁₆＝S₂₁，C₃＝S₈S₁₀

针对式(6)求解y和z，针对(7)式求解x和z，针对(8)式求解y和z依次可得：

可以解得动子在固定坐标系下的线位移依次为：

x＝-A₁x_C2-A₃z_C2-A₂c+x_abs-d＝-S₁₀S₁₆x_C2-S₂₀z_C2-S₁₈c+x_abs-d＝S₂₂

综上，动子在固定坐标系下六个自由度的位移依次为x＝S₂₂，y＝S₂₃，z＝S₂₄，θ_x≈sinθ_x＝S₉，θ_y≈sinθ_y＝S₁₁，θ_z≈sinθ_z＝S₁₇。

图2是本发明信号所述测量方法的信号传输框图。如图1所示，一号PSD传感器安装于平面电机动子上表面，接受一号激光头的信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息(Y₁,Z₁)，二号PSD传感器安装于平面电机动子上表面，接受二号激光头的信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息(X₂,Z₂)，三号PSD传感器安装于平面电机动子上表面，接受三号激光头的信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息(Y₃,Z₃)，X方向光栅尺的读数为x_abs，Y方向光栅尺的读数为y_abs；如图2所示，以上各传感器的读数作为输入，通过FPGA模块进行处理，算出动子在固定坐标系下六自由度的位移(x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z)；之后将算得的平面电机动子六自由度位移(x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z)以及所有传感器原始测量数据(Y₁,Z₁)、(X₂,Z₂)、(Y₃,Z₃)、x_abs和y_abs全部反馈给上位机用于检测，同时将Y方向光栅尺的读数为y_abs传输给驱动器，完成平面电机动子的控制。

Claims (1)

1.一种基于光栅尺和二维PSD传感器的平面电机动子位置测量方法，其特征在于，该方法采用的测量系统包括一号导杆(1)、二号导杆(2)、滑块(3)、一号激光头(4)、一号PSD传感器(5)、二号激光头(6)、二号PSD传感器(7)、三号激光头(8)、三号PSD传感器(9)、X方向光栅尺(10)和Y方向光栅尺(11)；

所述一号导杆(1)与二号导杆(2)均与线缆台固联，随动子运动沿Y向平移；

所述滑块(3)安装于二号导杆(2)上，随动子沿X方向运动，随二号导杆(2)沿Y向运动；

所述的一号激光头(4)安装于二号导杆(2)上，一号PSD传感器(5)安装于平面电机动子(12)上表面，一号PSD传感器(5)接收一号激光头(4)沿X方向发射的激光信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息；二号激光头(6)安装于滑块(3)上，二号PSD传感器(7)安装于平面电机动子(12)上表面，二号PSD传感器(7)接收二号激光头(6)沿Y方向发射的激光信号，并读取平面电机动子(12)在X方向和Z方向的位移信息；三号激光头(8)安装于一号导杆(1)上，三号PSD传感器(9)安装于平面电机动子(12)上表面，三号PSD传感器(9)接收三号激光头(8)沿X方向发射的激光信号，读出平面电机动子在Y方向和Z方向的位移信息；

所述X方向光栅尺(10)的读数头安装于滑块(3)上，标尺贴于二号导杆(2)靠近动子一侧的侧面上，用于测量动子在X方向的位移；所述Y方向光栅尺(11)的读数头安装于线缆台上，标尺贴于平面电机定子(13)侧面边缘，用于测量平面电机动子在Y方向的位移；

所述测量方法包含以下步骤：

1)建立定子上的固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A和动子上的随动坐标系O-XYZ，随动坐标系中X轴沿着初始时刻一号导杆(1)的方向，Y轴沿着垂直于一号导杆(1)的方向，Z轴垂直于平面电机动子(12)上表面，原点在动子几何中心，两个坐标系在初始时刻完全重合；

2)记录与各激光头安装位置相关的常数，该相关常数包括：一号激光头(4)所发射的直线激光信号与动子随动坐标系XOZ平面的距离a、一号PSD传感器(5)靶平面与随动坐标系YOZ平面的距离b、二号PSD传感器(7)靶平面与XOZ平面的距离c、二号激光头(6)所发射的直线激光信号与随动坐标系YOZ平面的距离d、三号激光头(8)所发射的直线激光信号与随动坐标系XOZ平面的距离e、三号PSD传感器(9)靶平面与随动坐标系YOZ平面的距离f和一号激光头(4)所发射的直线激光信号与随动坐标系XOY平面的距离h；

3)记录各传感器当前伺服周期的读数：其中一号PSD传感器(5)的读数记为(Y₁,Z₁)，二号PSD传感器(6)的读数记为(X₂,Z₂)，三号PSD传感器(7)的读数记为(Y₃,Z₃)，X方向光栅尺的读数记为x_abs，Y方向光栅尺的读数记为y_abs；

4)计算平面电机动子六个自由度的位移(x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z)，其中x是平面电机动子在定子固定坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿X_A方向平动的位移，y是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿Y_A方向平动的位移，z是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中沿Z_A方向平动的位移，θ_x是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕X_A轴转动的角度，θ_y是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕Y_A轴转动的角度，θ_z是平面电机动子在坐标系O_A-X_AY_AZ_A中绕Z_A轴转动的角度，具体步骤如下：

i.进行如下计算：

T₁＝b+f，T₂＝a+e，y_C1＝-a-Y₁，z_C1＝h-Z₁

x_C2＝-d-X₂，z_C2＝h-Z₂，y_C3＝e-Y₃，z_C3＝h-Z₃

其中T₁、T₂、y_C1、z_C1、x_C2、z_C2、y_C3和z_C3均为中间参数；

ii.进一步计算：

S₁＝y_C1-y_C3，S₂＝z_C1-z_C3，S₃＝x_C2-b，S₄＝y_C1+c，S₅＝z_C2-z_C1

其中S₁、S₂、S₃、S₄和S₅均为中间参数；

iii.计算cosθ_x、sinθ_x、cosθ_y和sinθ_y：

S₆＝(S₅T₁-S₂S₃)/(S₄T₁-S₁S₃)，S₇＝(S₂+S₁S₆)/T₁

其中S₆和S₇为中间参数，而cosθ_x＝S₈、sinθ_x＝S₉、cosθ_y＝S₁₀、sinθ_y＝S₁₁；

iv.计算cosθ_z和sinθ_z：

S₁₂＝S₁-(S₉S₁₁/S₁₀)T₁，S₁₃＝(S₈/S₁₀)T₁，S₁₄＝S₈T₂，

S₁₇＝(-S₁₂S₁₆-S₁₄)/S₁₃

其中S₁₂、S₁₃、S₁₄和S₁₅均为中间参数，而cosθ_z＝S₁₆、sinθ_z＝S₁₇；

v.计算x、y和z：

S₁₈＝S₈S₁₇-S₉S₁₁S₁₆，S₁₉＝S₉S₁₁S₁₇+S₈S₁₆

S₂₀＝S₉S₁₇+S₈S₁₁S₁₆，S₂₁＝S₈S₁₁S₁₇-S₉S₁₆

S₂₂＝-S₁₀S₁₆x_C2-S₂₀z_C2-S₁₈c+x_abs-d

S₂₃＝[-(y_C1+y_C3)S₁₉-(z_C1+z_C3)S₂₁+(f-b)S₁₀S₁₇+2y_abs+e-a]/2

S₂₄＝[-(z_C1+z_C2+z_C3)S₈S₁₀+(c-y_C1-y_C3)S₉S₁₀+(x_C2+b-f)S₁₁+3h]/3

其中S₁₈、S₁₉、S₂₀和S₂₁均为中间参数，而x＝S₂₂、y＝S₂₃、z＝S₂₄；

vi.得出六个自由度的位移：

x＝S₂₂，y＝S₂₃，z＝S₂₄

θ_x≈sinθ_x＝S₉，θ_y≈sinθ_y＝S₁₀，θ_z≈sinθ_z＝S₁₇。