CN106767675B - 基于细光束的f-theta测量系统的优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种基于细光束的f‑theta测量系统的优化方法，其通过软件建模建立其采用单光线入射测量的f‑theta测量系统模型，采用单光线对细光束行为进行模拟，借助f‑theta测量系统模型进行光线追迹计算得到在工作距离范围内的多组不同工作距离及反射镜偏转角度下对应的单光线测量光斑质心位置偏移量，从而以该测量光斑质心位置偏移量最小为目标进行优化，通过最小二乘法求解，确定优化所得的透镜组几何结构参数值，并按照该优化所得的透镜组几何结构参数值制造细光束f‑theta测量系统中透镜组的各个光学元件，能够极大的减小基于细光束的f‑theta测量系统由像差引入的误差。
Description
技术领域
本发明属于光学测量技术领域，尤其涉及一种基于细光束的f-theta测量系统的优化方法。
背景技术
高精度角度测量系统如自准直仪、傅立叶变换透镜角度测量系统等是目前通用的高精度角度测量f-theta测量系统。他们主要是通过测量反射光束的角度变化来测量反射面的角度变化，用于在约±15mrad范围内对反射面的角度变化进行高精度测量。其测量精度随着测量角度及反射面到测量系统的距离的变化而变化。
在同步辐射光源、自由电子激光、大型天文望远镜等科研前沿领域，高精度的自准直仪、傅立叶变换透镜等f-theta测量系统通常是重要光学元件——X射线反射镜检测仪器(如长程面型仪(LTP)，纳弧度光学检测系统(NOM)等)的重要部件。在这些科研领域中，f-theta测量系统检测精度的高低决定了X射线镜面品质的好坏，从而影响影响这些科研领域中所获得实验结果的好坏，由于受到各种系统误差的影响，对X射线反射镜面的高精度检测只能在很小的角度范围内实现。为了得到更好的实验结果，这些科研前沿领域对X射线反射镜面的检测品质提出了更高的要求，即要求在大量程范围检测精度小于50nrad。这必然要求X射线检测仪器相应的f-theta测量系统达到更高的品质，对限制f-theta测量系统测量精度的误差源必须得到减小或消除。
在f-theta测量系统(如自准直仪、傅立叶变换透镜系统)中主要的误差源有：1、由f-theta测量系统光学元件的像差引入的误差；2、f-theta测量系统中光学元件的加工缺陷造成的误差(比如：光学曲面加工面型误差，光学系统中透射体介质不均匀引入的误差)。由于大多数光学系统的像差关于光轴对称，由像差引入的误差往往表现出关于坐标原点的旋转对称性(如图1)。在上述两类误差源中，像差引入的误差往往占主要部分。对于高精度测量系统如NOM或LTP的f-theta测量系统，由像差引入的误差在±5mrad范围内可达到约10μrad(如图1)。测量的角度越大，引入的误差可能就越大。所以在这类系统中，高精度测量往往只能在一个很小的角度范围内实现。为了实现在大角度范围内的高精度测量，由f-theta测量系统像差引入的误差必须减小或消除。
图1是用于LTP系统的傅立叶变换透镜的误差曲线(参见文献“Thomas Zeschke,Anew Variation of the Long Trace Profiler Principle,4th international workshopon Metrology for X-ray Optic-Mirror Design and Frabrication-Barcelona-4th(2012)”)，该曲线是通过类似图2的LTP测量系统获得。在图2中入射光线被分束镜、五棱镜反射后以固定的入射方向投射到待测镜面，待测镜面反射的反射光再经过五棱镜、分束镜入射到f-theta测量系统。图2中的f-theta测量系统主要由透镜(傅立叶变换透镜)、CCD(Charge-coupled Device)图像传感器构成，如在NOM等系统中f-theta测量系统为自准直仪。
文献“Thomas Zeschke,A new Variation of the Long Trace ProfilerPrinciple,4th international workshop on Metrology for X-ray Optic-MirrorDesign and Frabrication-Barcelona-4th(2012)”通过干涉法测量得到傅立叶变换透镜的波前畸变，然后在软件模拟过程中加入了傅立叶变换透镜的波前畸变信息，通过模拟类似图2的光学系统来验证傅立叶变换透镜系统的角度测量品质。在该文献的模拟过程中，除了傅立叶变换透镜以外的其他光学原件都可以认为是理想的。由于模拟过程加入了傅立叶变换透镜的波前畸变(与加工误差相关)，所以傅立叶变换透镜由像差及加工误差引入的角度测量误差都在图1中体现出来了。图1是对傅立叶变换透镜绕光轴旋转90°前后的两个方向(A方向及B方向)，距离待测镜面不同距离时，进行软件模拟得到的结果。在软件模拟中，所用的待测镜面是曲率半径为10米的柱面镜。图1中横轴为在待测镜面上扫描的位置，从图1中可看出，其扫描区域约为待测镜面上±75mm的区域，在这个区域中，对应的测量角度变化范围约为±7.5mrad。图1中在同样的距离，傅立叶变换透镜在A方向、B方向取向模拟结果的差别主要源于傅立叶变换透镜的加工误差。除了这部分加工误差以外，从图1可以看出在约±7.5mrad的量程内，傅立叶变换透镜测量的误差可达到约15μrad，这部分误差，在A方向、B方向两个取向都相似，而且几乎关于图1的坐标原点旋转对称，这样的误差主要由傅立叶变换透镜的像差造成。
传统的f-theta测量系统在设计时，是通过一定的光学软件(如ZEMAX)对f-theta测量系统中各光学元件的参数进行优化，通过优化后的像差分布图来评价设计的f-theta测量系统的好坏。如果优化过程不合理，则对应的像差就会引入较大的角度测量误差。
在优化f-theta测量系统时，传统的优化方案通常是针对固定的入瞳位置，对不同的视场进行各类像差的优化。而在具体使用这类f-theta测量系统时，入瞳的位置将会变化，特别是在NOM、LTP等系统中，入瞳位置变化可能超过1米。对于不同入瞳位置，f-theta测量系统引入的像差是不同的。当测量角度较大时，测量距离越远对于传统的f-theta测量系统(如自准直仪)入瞳对应的口径将减小(部分反射光线不能回到自准直仪导致入瞳口径减小)，因为很多像差都是入瞳口径的函数，所以在大角度测量时，不同入瞳位置像差引入的测量误差都会发生变化。可以看出，用于高精度测量的f-theta测量系统不适合使用传统的固定入瞳位置的优化方式。
其次，对于用于NOM、LTP等系统的f-theta测量系统，其在进行高精度测量时往往工作在细光束模式(细光束是指，光束直径只有毫米级)，而对应的f-theta测量系统往往是优化于大口径(口径约40mm如自准直仪)，当光束口径变化了，对应的像差也将发生变化。所以将优化于大口径的光学系统应用于细光束工作模式是不合理的，对于同样的光学系统，工作于不同的口径的光束时，其像差是不一样的。当工作于细光束时，其性能是无法确定。
再次，在传统的优化过程中，大多数的优化计算都是参考光斑的质心点或光学系统的主光线，但这两个参考并不满足f-theta转换关系，要实现高精度的角度转换，对于f-theta测量系统在优化时，其参考点应该选为焦平面上满足f-theta关系的参考点。
由此可见，如果将现有技术的f-theta测量系统优化方案用于针对于工作距离范围较大、测量精度要求较高的基于细光束的f-theta测量系统进行优化，容易造成优化不足、难以适用的问题。因此亟需一种针对于细光束测量模式的f-theta测量系统、且能够满足优化精度要求的优化方案。
发明内容
针对现有技术中存在的上述问题，本发明提供了一种基于细光束的f-theta测量系统的优化方法，能够适用于对细光束测量模式的f-theta测量系统进行优化，确定系统中透镜参数的优化方案，从而减小细光束f-theta测量系统像差引入的误差，使其能够达到更好的测量精度要求。
为实现上述目的，本发明采用了如下技术手段：
基于细光束的f-theta测量系统的优化方法，包括如下步骤：
1)针对待优化的细光束的f-theta测量系统，通过软件建模，建立其采用单光线入射的f-theta测量系统模型；
2)参照待优化的细光束f-theta测量系统的设计要求，设定f-theta测量系统模型中反射镜与透镜组之间的工作距离范围[Lmin,Lmax]、f-theta测量系统的角度测量范围[θmin,θmax]、透镜组的折射率参数透镜组的目标焦距f0、透镜组中各透镜曲面之间的间距约束值j∈{1,2,…,q}，q为f-theta测量系统模型的透镜组中包含的透镜曲面数；其中，表示设定的透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面之间材质的折射率，表示透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距约束值；
3)从设定的反射镜与透镜组之间的工作距离范围[Lmin,Lmax]中选取m个不同的工作距离值L1,L2,…,Li,…,Lm，从设定的反射镜面旋转角度范围[θmin,θmax]中选取m个不同的测量角度值θ1,θ2,…,θi,…,θm，i∈{1,2,…,m}，从而构成m个不同的工作距离及角度数组(L1,θ1),(L2,θ2),…,(Li,θi),…,(Lm,θm)；以f-theta测量系统模型的透镜组的几何结构参数p＝(r1,d1,r2,d2,…,rj,dj,rj+1,…,rq-1,dq-1,rq)作为自变量，rj表示透镜组中第j个透镜曲面的曲率半径，dj表示透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距，且dj的取值受到透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距约束值的约束，j∈{1,2,…,q}，以f-theta测量系统模型中单光线入射后测量光斑质心位置偏移量作为因变量，建立m个不同的工作距离及角度数组情况下各自对应的光斑质心位置误差函数关系：
Δhi＝F(η0,p,Li,θi)，i∈{1,2,…,m}；
其中，Δhi表示第i个工作距离及角度数组(Li,θi)对应的测量光斑质心位置偏移量，且有Δhi＝h0-f0×tan(2θi)，h0为f-theta测量系统模型的光斑质心基准位置；
4)构造所述f-theta测量系统模型的优化观测函数δ2：
以优化观测函数δ2的值最小为优化目标，采用最小二乘法求得满足优化目标的透镜组的几何结构参数值，作为优化所得的透镜组几何结构参数值pa；
5)按照该优化所得的透镜组几何结构参数值pa，制造待优化的细光束f-theta测量系统中透镜组的各个光学元件。
上述基于细光束的f-theta测量系统的优化方法中，作为优选方案，所述步骤4)中，采用最小二乘法求得满足优化目标的透镜组的几何结构参数值的具体步骤为：
41)设定f-theta测量系统模型的透镜组的几何结构参数p的迭代初始值pini，令初始迭代的几何结构参数值p0＝pini；
42)对如下方程进行求解，得到初始迭代的几何结构参数的迭代变量值Δp0：
其中，为对透镜组的几何结构参数p求偏导数的运算符；w0为预设定的限制权重常数；方程求解的约束条件为：
fp0表示透镜组的几何结构参数值为p0时对应的透镜组的焦距值，表示透镜组的几何结构参数值p0中透镜组的第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距值；
43)记迭代次数为k，令k＝1；
44)确定第k次迭代的透镜组的几何结构参数值pk＝pk-1+Δpk-1，pk-1表示第k-1次迭代的透镜组的几何结构参数值，Δpk-1表示第k-1次迭代的几何结构参数的迭代变量值，然后判断是否满足如下迭代终止条件：
其中，表示第k次迭代所得的优化观测函数值，且表示第k-1次迭代所得的优化观测函数值，且ε为预设定的迭代终止误差阈值，其取值大于0；若满足迭代终止条件时，执行步骤47)；否则，执行步骤45)；
45)对如下方程进行求解，得到第k次迭代的几何结构参数的迭代变量值Δpk：
其中，为对透镜组的几何结构参数p求偏导数的运算符；w0,w1,…,wq-1为预设定的限制权重常数；方程求解的约束条件为：
fpk表示透镜组的几何结构参数值为pk时对应的透镜组的焦距值，表示透镜组的几何结构参数值pk中透镜组的第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距值；求解得到第k次迭代的几何结构参数的迭代变量值Δpk后，执行步骤46)；
46)令迭代次数为k自加1，返回步骤44)；
47)终止迭代，记终止迭代时的迭代次数为K，将终止迭代时最后一次迭代的几何结构参数值pK的取值，作为优化所得的细光束f-theta测量系统的透镜组几何结构参数值pa。
相比于现有技术，本发明具有如下有益效果：
本发明的基于细光束的f-theta测量系统的优化方法，其通过软件建模建立其采用单光线入射的f-theta测量系统模型，借助f-theta测量系统模型进行光线追迹计算得到f-theta测量系统在工作距离范围内的多组不同工作距离及测量角度下对应的单光线测量光斑质心位置偏移量，从而以该测量光斑质心位置偏移量最小为目标进行优化，通过最小二乘法求解，确定优化所得的透镜组几何结构参数值，并按照该优化所得的透镜组几何结构参数值制造细光束的f-theta测量系统中透镜组的各个光学元件，能够极大的减小基于细光束的f-theta测量系统由像差引入的误差，将像差引入的误差减小到1μrad以下，能够比现有技术优化误差结果减小约两个数量级，从而使得细光束的f-theta测量系统能够达到更好的测量精度要求。
附图说明
图1为现有技术中用于LTP系统的f-theta测量系统傅立叶变换透镜的误差曲线。
图2为现有技术中LTP测量系统结构及光路示意图。
图3为能够调整不同工作距离范围、不同测量角度的f-theta测量系统的结构及光路示意图。
图4为f-theta测量系统中反射镜的旋转角度θ为零时的像差散点图示意图。
图5和图6为f-theta测量系统中反射镜的旋转角度θ不为零时的像差散点图示意图。
图7为实施例中优化所得的f-theta测量系统透镜组几何结构参数的单光线追迹误差分析图。
图8为细光束入射测量的f-theta测量系统的结构及光路示意图。
图9为实施例中优化所得的f-theta测量系统透镜组几何结构参数通过图8所示细光束入射追迹的误差分析图。
图10为f-theta测量系统在单光线追迹及细光束模拟在同样工作距离时设计角度测量范围内的角度误差曲线图。
具体实施方式
为了减弱或者消除f-theta测量系统像差引入的误差，用于高精度检测的f-theta测量系统、特别是用于细光束工作模式的f-theta测量系统，现有技术中对f-theta测量系统的优化方法已难以适用，容易造成优化不足、误差较大的问题。在细光束模式下，由于光束的直径在毫米量级甚至更小，这样的光束其行为很接近单光线，由于其口径小，大多数与口径相关的像差都很小。所以基于该特点，本发明引入了基于细光束的f-theta测量系统的优化方法。
由于f-theta测量系统需要工作在一定的工作距离范围，与现有技术中的f-theta测量系统优化方案固定距离的方式不同，为了能够对f-theta测量系统的全部工作距离范围加以优化考量，需要将对于f-theta测量系统的整个工作距离范围、在不同测量角度时进行优化。如图3所示，在图3中入射光线经过分束镜(BS)沿f-theta测量系统光轴传播到反射镜面，当反射镜面旋转一个角度θ时(位置P1处，与透镜距离为L1)，反射光将偏转2θ入射到f-theta测量系统，最后汇聚到处于f-theta测量系统焦平面的CCD阵面形成测量光斑。对于理想的角度测量f-theta测量系统，希望测量光斑的质心位置h在不同测量距离(如P1或P2处)，不同测量角度都能满足：
h＝f×tan(2θ)； (1)
f为f-theta测量系统中透镜的焦距，当θ较小时，公式(1)可以近似为：
h＝f2θ； (2)
当用公式(1)或公式(2)来进行优化时，可获得不同的优化结果。具体应该利公式(1)还是公式(2)来进行优化，这取决于图7或图9的误差分析结果。
公式(1)和公式(2)中的测量光斑质心位置h可以通过实际光线追迹计算而得到。测量光斑质心位置h与透镜焦距f的计算方法，在很多工程光学书中关于f-theta测量系统的相关部分都有介绍，是成熟的公知知识。因此，完全可以通过软件建模的方式，建立f-theta测量系统模型，来计算确定测量光斑的质心位置h。
f-theta测量系统中的透镜组都是由一系列的旋转曲面构成，当反射镜的旋转角度θ为零时，其在焦平面上形成的光斑能量分布关于子午、弧矢面都对称，如图4所示；而当反射镜的旋转角度θ不为零时，由于透镜像差的影响，这样的透镜系统在焦平面上形成的光斑通常都是关于系统子午面能量分布对称，而关于弧矢面能量分布非对称的图形，如图5、6所示。正是由于在子午面内光斑能量关于满足f-theta关系点非对称，当反射镜与f-theta测量系统的距离改变时(比如图3中P1、P2位置，对应距离为L1、L2)，或者测量角度改变时，实际测量光斑质心位置将偏离f-theta关系：
h＝f×tan(2θ)+Δh； (3)
Δh＝h-f×tan(2θ)； (4)
通过公式(3)、(4)可知，测量光斑质心位置偏移量Δh为f-theta测量系统中反射镜到透镜的光程L与反射镜旋转角度θ的函数。为了使得优化后的f-theta测量系统能够用于实施高精度角度测量，需要优化后的f-theta测量系统满足在工作距离(即反射镜到透镜的光程距离L)的允许范围内及反射镜旋转角度测量范围内的测量光斑质心位置偏移量Δh尽可能小。
对于基于细光束的f-theta测量系统，由于光束的直径较小(约几个毫米，甚至更小)，大多数以口径为函数的像差都很小，所以细光束的行为与单光线很接近，于是可以考虑用单光线来代替细光束进行优化。为了实现在工作范围内(比如图3所示中L1～L2范围内)的高精度角度测量，这必然要求在工作范围内(比如图3的f-theta测量系统中的L1～L2范围内)的不同点处、不同反射镜偏转角度的光线都尽可能满足f-theta关系，使得所对应的测量光斑质心位置偏移量Δh最小。
利用软件建模的方式建立f-theta测量系统模型，采用单光线(代替细光束)入射测量，由于利用软件建模的f-theta测量系统模型中限定了f-theta测量系统中各器件之间的光学几何关系，通过实际光线追迹计算可以得到f-theta测量系统在工作距离范围内，m组不同工作距离Li及反射镜偏转角度θi(构成一个工作距离及角度数组(Li,θi))下对应的单光线测量光斑质心位置偏移量Δhi，i∈{1,2,…,m}，从而通过m个不同Δhi的值可以构造出细光束测量f-theta测量系统的优化观测函数δ2：
公式(5)中，p＝(r1,d1,r2,d2,…,rj,dj,rj+1,…,rq-1,dq-1,rq)为q曲面组合透镜组的几何结构参数，j∈{1,2,…,q}，rj表示q曲面组合透镜组中第j个透镜曲面的曲率半径，dj表示q曲面组合透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距，η＝(n1,n2,…,nj,…,nq-1)为q曲面组合透镜组的折射率参数，nj表示q曲面组合透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面之间材质的折射率；F(η,p,Li,θi)表示测量光斑质心位置偏移量Δhi与透镜组折射率参数η、透镜组几何结构参数p、工作距离Li及反射镜偏转角度θi之间的光斑质心位置误差函数关系。其中，由于利用软件建模的f-theta测量系统模型中限定了f-theta测量系统中各器件之间的光学几何关系，因此通过实际光线追迹计算就能够很容易的确定测量光斑质心位置偏移量Δhi与其它相关参数的函数关系Δhi＝F(η,p,Li,θi)；至于透镜组中各透镜曲面间介质的折射率是由透镜组所用材质的折射率而确定，不能连续变化，可以在优化前预先根据透镜组中所用材质的实际折射率而设定，在优化过程作为常数处理；而若要优化不同折射率的透镜组合，可以针对新的透镜折射率组合重新完成优化过程即可；最后，通过最小二乘法可以得到在不同的工作距离及角度(Li,θi)数组条件下所满足优化观测函数δ2最小的f-theta测量系统中的透镜组几何结构参数值。
考虑采用最简单的高斯-牛顿迭代法来求解这个最小二乘问题，迭代步长可选为1，通过公式(5)可得到：
pk＝pk-1+Δp； (7)
其中，k表示迭代次数，pk和pk-1分别表示第k次迭代时和第k-1次迭代时的透镜组几何结构参数值，Δp表示透镜组几何结构参数值的迭代变量；Fk,i＝F(η0,pk,Li,θi)，i∈{1,2,…,m}，η0表示预设定的透镜组折射率参数。
迭代终止条件选为：
其中，表示第k次迭代所得的优化观测函数值，且表示第k-1次迭代所得的优化观测函数值，且ε为迭代终止误差阈值，是一个大于0并且预设定的值很小的常数。在满足迭代终止条件时终止迭代，记终止迭代时的迭代次数为K，其对应的透镜组的几何结构参数值为pK。
对于f-theta测量系统工作距离范围内的m组(Li,θi)参数，公式(6)可表示为：
为了满足特定的设计需求，需要对优化过程加入一些限制条件，比如，预先设定f-theta测量系统中透镜组的目标焦距f0，以及透镜组中各透镜曲面之间的间距不能为负值，因此需要设定透镜组中各透镜曲面之间的间距约束值对各透镜曲面之间的间距加以约束，q为透镜组中包含的透镜曲面数，且f0以及均为正数值。
于是，公式(9)可以表示为：
其中，
及
公式(11)和公式(12)是优化约束条件，其中，f0是优化透镜组的目标焦距，f是迭代的透镜组几何结构参数值对应的透镜组的焦距值，是透镜组中各透镜曲面之间的间距约束值，d1,d2,…,dq-1是迭代的透镜组几何结构参数值中各透镜曲面之间的间距值；而公式(10)中w0,w1,…,wq-1为限制权重常数，可根据设计需求人为选取，通常可以取一些较大的数值；这些限制条件可以根据实际设计需求和优化需要而进行调整。由公式(10)可以求解得到一次迭代的迭代变量Δp，然后通过公式(7)进行修正得到新的参数f-theta测量系统参数p，反复利用公式(10)和公式(7)则可以得到不同的p，直到满足公式(8)的条件。由此，求解得到迭代终止时最后一次迭代的透镜组几何结构参数pK的取值，作为优化所得的细光束测量f-theta测量系统的透镜组几何结构参数值pa。最后，按照该优化所得的透镜组几何结构参数值pa，制造f-theta测量系统中透镜组的各个光学元件。
基于上述思路，本发明提出了一种基于细光束的f-theta测量系统的优化方法，其处理流程包括如下步骤：
1)针对待优化的细光束f-theta测量系统，通过软件建模，建立其采用单光线入射测量的f-theta测量系统模型。
这里，建立采用单光线入射测量的f-theta测量系统模型，目的是在建立的f-theta测量系统模型中采用单光线对细光束行为进行模拟。
2)参照待优化的细光束f-theta测量系统的设计要求，设定f-theta测量系统模型中反射镜与透镜组之间的工作距离范围[Lmin,Lmax]、f-theta测量系统的角度测量范围[θmin,θmax]、透镜组的折射率参数透镜组的目标焦距f0、透镜组中各透镜曲面之间的间距约束值j∈{1,2,…,q}，q为f-theta测量系统模型的透镜组中包含的透镜曲面数；其中，表示设定的透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面之间材质的折射率，表示透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距约束值。
3)从设定的反射镜与透镜组之间的工作距离范围[Lmin,Lmax]中选取m个不同的工作距离值L1,L2,…,Li,…,Lm，从设定的反射镜面旋转角度范围[θmin,θmax]中选取m个不同的测量角度值θ1,θ2,…,θi,…,θm，i∈{1,2,…,m}，从而构成m个不同的工作距离及角度数组(L1,θ1),(L2,θ2),…,(Li,θi),…,(Lm,θm)；以f-theta测量系统模型的透镜组的几何结构参数p＝(r1,d1,r2,d2,…,rj,dj,rj+1,…,rq-1,dq-1,rq)作为自变量，rj表示透镜组中第j个透镜曲面的曲率半径，dj表示透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距，且dj的取值受到透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距约束值的约束，j∈{1,2,…,q}，以f-theta测量系统模型中单光线入射后测量光斑质心位置偏移量作为因变量，建立m个不同的工作距离及角度数组情况下各自对应的光斑质心位置误差函数关系：
Δhi＝F(η0,p,Li,θi)，i∈{1,2,…,m}；
其中，Δhi表示第i个工作距离及角度数组(Li,θi)对应的测量光斑质心位置偏移量，且有Δhi＝h0-f0×tan(2θi)，h0为f-theta测量系统模型的光斑质心基准位置。
在步骤2)和步骤3)中，预先确定了f-theta测量系统模型中反射镜与透镜组之间的工作距离范围以及反射镜面旋转角度范围，然后在该工作距离范围以及反射镜面旋转角度范围内选取一系列的离散值，来实现对f-theta测量系统对整个工作距离范围及旋转角度测量范围进行优化；在具体实施操作时，所选取的一系列工作距离值和反射镜面旋转角度值可以根据不同的实际情况来选取不同的值，根据不同的取值进行优化。
4)构造所述f-theta测量系统模型的优化观测函数δ2：
以优化观测函数δ2的值最小为优化目标，采用最小二乘法求得满足优化目标的透镜组的几何结构参数值，作为优化所得的透镜组几何结构参数值pa。
在这里进行优化时，可以通过不同的最小二乘优化方式来得到优化的透镜组几何结构参数值pa。但作为一种优选的执行方式，这里采用最小二乘法求解的具体步骤为：
41)设定f-theta测量系统模型的透镜组的几何结构参数p的迭代初始值pini，令初始迭代的几何结构参数值p0＝pini；
42)对如下方程进行求解，得到初始迭代的几何结构参数的迭代变量值Δp0：
其中，为对透镜组的几何结构参数p求偏导数的运算符；w0为预设定的限制权重常数；方程求解的约束条件为：
fp0表示透镜组的几何结构参数值为p0时对应的透镜组的焦距值，表示透镜组的几何结构参数值p0中透镜组的第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距值；
43)记迭代次数为k，令k＝1；
44)确定第k次迭代的透镜组的几何结构参数值pk＝pk-1+Δpk-1，pk-1表示第k-1次迭代的透镜组的几何结构参数值，Δpk-1表示第k-1次迭代的几何结构参数的迭代变量值，当然，若k-1＝0时，则pk-1表示初始迭代的几何结构参数值p0，而Δpk-1表示初始迭代的几何结构参数的迭代变量值Δp0；然后判断是否满足如下迭代终止条件：
其中，表示第k次迭代所得的优化观测函数值，且表示第k-1次迭代所得的优化观测函数值，且ε为预设定的迭代终止误差阈值，是一个取值大于0并且预设定的值很小的常数，通常情况下其取值范围可以为0<ε≤10-14mm2或0<ε≤10-15mm2，但有时取值过小会导致迭代无法收敛终止的情况，此时迭代终止误差阈值ε的取值可以适当增大，取值到10-13mm2或10-12mm2，以取值尽可能小且能够使得迭代收敛终止为目的，具体取值可以根据实际情况而确定；若满足迭代终止条件时，执行步骤47)；否则，执行步骤45)；
45)对如下方程进行求解，得到第k次迭代的几何结构参数的迭代变量值Δpk：
其中，为对透镜组的几何结构参数p求偏导数的运算符；w0,w1,…,wq-1为预设定的限制权重常数，其取值可以根据实际应用情况的需要而设定；方程求解的约束条件为：
fpk表示透镜组的几何结构参数值为pk时对应的透镜组的焦距值，表示透镜组的几何结构参数值pk中透镜组的第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距值；求解得到第k次迭代的几何结构参数的迭代变量值Δpk后，执行步骤46)；
46)令迭代次数为k自加1，返回步骤44)；
47)终止迭代，记终止迭代时的迭代次数为K，将终止迭代时最后一次迭代的几何结构参数值pK的取值，作为优化所得的细光束f-theta测量系统的透镜组几何结构参数值pa。
下面通过实施例对本发明进行更为具体的说明。
实施例：
本实施例优化一个焦距为500mm的双胶合透镜组用于细光束f-theta测量系统的高精度角度测量，其设计f-theta测量系统中反射镜与透镜组之间的工作距离为1000mm～2000mm，反射镜面旋转角度测量量程为±5mrad，直接选用Thorlabs的商用透镜组AC254-500-A(其几何结构参数和材质参见表1)作为初始参数。
表1 AC254-500-A透镜组的结构几何结构参数和材质
| 第j个透镜曲面 | r<sub>j</sub>/mm | d<sub>j</sub>/mm | 材质 |
| 1 | 337.3 | 4 | N-BK7 |
| 2 | -186.8 | 2 | SF2 |
| 3 | -557.4 |
通过软件建模，建立该f-theta测量系统采用单光线入射测量的f-theta测量系统模型。为了简化运算，本实施例选定6个工作距离及角度数组，即(L1,θ1)＝(2000mm,5mrad)，(L2,θ2)＝(1800mm,5mrad)，(L3,θ3)＝(1600mm,5mrad)，(L4,θ4)＝(1400mm,5mrad)，(L5,θ5)＝(1200mm,5mrad)，(L6,θ6)＝(1000mm,5mrad)。对应设定的限制参数为：透镜组的目标焦距f0＝500mm，设定的透镜组中第1个透镜曲面与第2个透镜曲面的间距第1个透镜曲面与第2个透镜曲面的间距限制权重常数w0＝w1＝w2＝1。采用本发明方法进行优化，采用最小二乘法求取满足优化目标的透镜组的几何结构参数值时，取迭代终止误差阈值ε＝10-15mm2，进行约6步高斯-牛顿迭代后，满足迭代终止条件，因此终止迭代，第6次迭代的优化观测函数δ6＝4.97×10-8mm2，终止迭代时(即第6次迭代)对应的透镜组的几何结构参数值如表2所示。
表2
| 第j个透镜曲面 | r<sub>j</sub>/mm | d<sub>j</sub>/mm | 材质 |
| 1 | 437.02 | 4 | N-BK7 |
| 2 | -170.90 | 2 | SF2 |
| 3 | -407.59 |
由此，便得到该焦距为500mm的双胶合透镜组的f-theta测量系统在其反射镜与透镜组之间的工作距离为1000mm～2000mm、反射镜面旋转角度测量量程为±5mrad条件下优化所得的透镜组几何结构参数值pa＝(407.02mm,4mm,-170.90mm,2mm,-407.59mm)。
由于本发明对细光束f-theta测量系统的优化方法是基于单光线优化得到，可以通过计算在设计的f-theta测量系统工作距离范围内及设计测量角度范围内单光线角度误差来评价设计的f-theta测量系统品质。
通过对本实施例优化所得的透镜组几何结构参数(如表2所示)进行单光线追迹误差分析，其误差分析图如图7所示，可从中看到，本实施例优化所得的透镜组几何结构参数在其反射镜与透镜组之间的工作距离为1000mm～2000mm、反射镜面旋转角度测量量程为±5mrad条件下，单光线追迹计算得到的误差内小于200nrad。
此外，也可以通过模拟实际细光束追迹来评价f-theta测量系统的品质。可以在光学模拟软件(如ZEMAX)中构建如图8所示的细光束入射测量的f-theta测量系统光路。在ZEMAX的非序列模式下，图8中点光源发出的光经过准直透镜准直为平行光束后入射到反射镜。通过在软件中设置点光源的锥角可以限制准直后平行光束的直径。平行光束经反射镜反射后入射到透镜，经透镜汇聚后在处于透镜焦平面的探测器CCD上形成测量光斑。通过计算CCD上光斑的质心位置，利用公式h＝f×tan(2θ)可以计算出f-theta测量系统的测量角度。通过改变透镜与反射镜之间的间距L可以得到在不同距离，f-theta透镜的测量量程里的测量值，从而计算出角度误差。图9是本实施例优化所得的焦距500mm的f-theta测量系统透镜组几何结构参数(如表2所示)通过图8所示细光束入射追迹的误差分析图，追迹光束直径为4mm。从图1所示的现有技术优化误差曲线可以看出，用于高精度测量的傅立叶变换透镜，在约1m的工作距离范围内，在±5mrad角度测量范围内引入了约15μrad的角度误差；而对比于图9，采用本发明方法的优化结果引入的误差最大只有150nrad，比图1所示的现有技术优化误差结果减小了约两个数量级。从图9可以看出，本发明的优化方法能够极大的减小基于细光束的f-theta测量系统由像差引入的误差。
而单光线追迹(图7所示)及细光束模拟(图9所示)在同样工作距离时，设计角度测量范围内的角度误差曲线如图10所示，从图10可以看出，在同样工作距离时，在设计角度测量范围内，单光线追迹与细光束模拟的差别较小(小于8nrad)。这说明在细光束高精度f-theta测量系统设计时，采用单光线入射建模能用来代替细光束进行f-theta测量系统的设计优化，而基于单光线的误差分析图(图7)能比较准确的反应f-theta测量系统的工作品质。
综上所述，可以看到，本发明的基于细光束的f-theta测量系统的优化方法，其通过软件建模建立其采用单光线入射测量的f-theta测量系统模型，借助f-theta测量系统模型进行光线追迹计算得到f-theta测量系统在工作距离范围内的多组不同工作距离及反射镜偏转角度下对应的单光线测量光斑质心位置偏移量，从而以该测量光斑质心位置偏移量最小为目标进行优化，通过最小二乘法求解，确定优化所得的透镜组几何结构参数值，并按照该优化所得的透镜组几何结构参数值制造细光束f-theta测量系统中透镜组的各个光学元件，能够极大的减小基于细光束的f-theta测量系统由像差引入的误差，将像差引入的误差减小到1μrad以下，能够比现有技术优化误差结果减小约两个数量级，从而使得细光束f-theta测量系统能够达到更好的测量精度要求。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
Claims (2)
1.基于细光束的f-theta测量系统的优化方法，其特征在于，包括如下步骤：
1)针对待优化的细光束的f-theta测量系统，通过软件建模，建立其采用单光线入射的f-theta测量系统模型；
2)参照待优化的细光束f-theta测量系统的设计要求，设定f-theta测量系统模型中反射镜与透镜组之间的工作距离范围[Lmin,Lmax]、f-theta测量系统的角度测量范围[θmin,θmax]、透镜组的折射率参数透镜组的目标焦距f0、透镜组中各透镜曲面之间的间距约束值q为f-theta测量系统模型的透镜组中包含的透镜曲面数；其中，表示设定的透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面之间材质的折射率，表示透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距约束值；
3)从设定的反射镜与透镜组之间的工作距离范围[Lmin,Lmax]中选取m个不同的工作距离值L1,L2,…,Li,…,Lm，从设定的反射镜面旋转角度范围[θmin,θmax]中选取m个不同的测量角度值θ1,θ2,…,θi,…,θm，i∈{1,2,…,m}，从而构成m个不同的工作距离及角度数组(L1,θ1),(L2,θ2),…,(Li,θi),…,(Lm,θm)；以f-theta测量系统模型的透镜组的几何结构参数p＝(r1,d1,r2,d2,…,rj,dj,rj+1,…,rq-1,dq-1,rq)作为自变量，rj表示透镜组中第j个透镜曲面的曲率半径，dj表示透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距，且dj的取值受到透镜组中第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距约束值的约束，j∈{1,2,…,q}，以f-theta测量系统模型中单光线入射后测量光斑质心位置偏移量作为因变量，建立m个不同的工作距离及角度数组情况下各自对应的光斑质心位置误差函数关系：
Δhi＝F(η0,p,Li,θi)，i∈{1,2,…,m}；
其中，Δhi表示第i个工作距离及角度数组(Li,θi)对应的测量光斑质心位置偏移量，且有Δhi＝h0-f0×tan(2θi)，h0为f-theta测量系统模型的光斑质心基准位置；
4)构造所述f-theta测量系统模型的优化观测函数δ2：
以优化观测函数δ2的值最小为优化目标，采用最小二乘法求得满足优化目标的透镜组的几何结构参数值，作为优化所得的透镜组几何结构参数值pa；
5)按照该优化所得的透镜组几何结构参数值pa，制造待优化的细光束f-theta测量系统中透镜组的各个光学元件。
2.根据权利要求1所述基于细光束的f-theta测量系统的优化方法，其特征在于，所述步骤4)中，采用最小二乘法求得满足优化目标的透镜组的几何结构参数值的具体步骤为：
41)设定f-theta测量系统模型的透镜组的几何结构参数p的迭代初始值pini，令初始迭代的几何结构参数值p0＝pini；
42)对如下方程进行求解，得到初始迭代的几何结构参数的迭代变量值Δp0：
其中，为对透镜组的几何结构参数p求偏导数的运算符；w0,w1,…,wq-1为预设定的限制权重常数；方程求解的约束条件为：
表示透镜组的几何结构参数值为p0时对应的透镜组的焦距值，表示透镜组的几何结构参数值p0中透镜组的第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距值；
43)记迭代次数为k，令k＝1；
44)确定第k次迭代的透镜组的几何结构参数值pk＝pk-1+Δpk-1，pk-1表示第k-1次迭代的透镜组的几何结构参数值，Δpk-1表示第k-1次迭代的几何结构参数的迭代变量值，然后判断是否满足如下迭代终止条件：
其中，表示第k次迭代所得的优化观测函数值，且 表示第k-1次迭代所得的优化观测函数值，且ε为预设定的迭代终止误差阈值，其取值大于0；若满足迭代终止条件时，执行步骤47)；否则，执行步骤45)；
45)对如下方程进行求解，得到第k次迭代的几何结构参数的迭代变量值Δpk：
其中，为对透镜组的几何结构参数p求偏导数的运算符；w0,w1,…,wq-1为预设定的限制权重常数；方程求解的约束条件为：
表示透镜组的几何结构参数值为pk时对应的透镜组的焦距值，表示透镜组的几何结构参数值pk中透镜组的第j个透镜曲面与第j+1个透镜曲面的间距值；求解得到第k次迭代的几何结构参数的迭代变量值Δpk后，执行步骤46)；
46)令迭代次数为k自加1，返回步骤44)；
47)终止迭代，记终止迭代时的迭代次数为K，将终止迭代时最后一次迭代的几何结构参数值pK的取值，作为优化所得的细光束f-theta测量系统的透镜组几何结构参数值pa。
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