CN106407609B - 基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，对齿轮箱进行优化设计。核心方案为：建立优化数学模型，目标函数为齿轮箱中齿轮、轴的质量之和，计算齿轮弯曲疲劳强度的约束条件，轴强度的约束条件需要用到Neumann随机有限元，齿轮使用的网格采用二十节点六面体等参数单元，轴使用的网格采用轴对称四边形环形单元；采用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题，无约束优化问题采用Powell法求解；建立齿轮箱的优化数学模型，根据齿轮箱的优化数学模型。本发明的优化效果显著，齿轮箱质量下降，体积减小，原材料费用下降，提高了产品质量，使产品更具有竞争力。

Description

基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法

技术领域

本发明涉及基于随机有限元对齿轮箱进行优化设计方法，属于机械设计、机械优化设计、机械现代设计方法领域。

背景技术

齿轮箱在机床，工程机械，冶金机械，矿山机械，石油机械，农业机械，车辆等领域有广泛的应用。随着计算机技术的发展，传统的机械设计方法取得了长足进步，产生了机械优化设计方法。国内外对很多机械产品及零部件进行了优化设计。机械可靠性设计把常规设计中的一些变量，如载荷、材料的强度、零部件的几何尺寸等，都作为随机变量处理，进行设计所依据的数据来自试验或实践，并经统计分析，考虑了工况变化及各种随机因素的影响。机械可靠性设计与优化设计相结合形成了可靠性优化设计，既能定量地预测产品的可靠性，又能使产品的设计参数获得优化解。机械可靠性设计仅能对简单零件进行设计。很多现代的结构系统具有很高的结构复杂度。在随机的载荷和工作环境下，先进的数值技术、著名的有限元方法被用来分析结构。绝大多数的应用被限制在确定的载荷和工作环境下，尽管随机和不确定的因素达到相当的程度。随机因素对结构的影响越来越受到国内外学者的重视。随着人类认识的深入，忽略随机性的有限元是不符合实际的。有限元分析要想提高计算精度，必须考虑随机因素的影响。考虑随机因素的有限元称为随机有限元。随机有限元的计算方法主要有直接Monte Carlo法，Taylor展开法，摄动法，Neumann展开法，Neumann－PCG法等。

目前，还没有出现基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法。

发明内容

本发明提出基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，对齿轮箱进行优化设计，使齿轮箱的重量减轻、提高了产品质量。

为此，本发明的技术方案如下：基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，包括如下步骤：

(1)齿轮使用的网格采用二十节点六面体等参数单元，轴使用的网格采用轴对称四边形环形单元；采用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题，无约束优化问题采用Powell法求解，计算齿轮弯曲疲劳强度的约束条件，轴强度的约束条件需要用到Neumann随机有限元，计算单元刚度矩阵，集成单元刚度矩阵为整体单元刚度矩阵，求解齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差、齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差、轴强度的许用均值和许用方差；

(2)建立齿轮箱的优化数学模型

设计变量为：齿轮模数、齿轮齿数、轴的直径、轴的长度；

约束条件为：齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差小于齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差小于轴强度的许用均值和许用方差；

目标函数为：齿轮箱中所有齿轮、轴的质量和；

从而立建立齿轮箱的优化数学模型；

(3)根据齿轮箱的优化数学模型，编写计算机运算程序，最后运行计算机运算程序获得最优解。

有益效果：本发明基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计优化，优化效果显著，优化后齿轮箱质量下降、体积减小，原材料费用下降，提高了产品质量，使产品更具有竞争力。

附图说明

图1是一种需要进行优化设计的齿轮箱结构图。

图2所示Neumann随机有限元计算齿轮弯曲应力的均值和方差的框图。

具体实施方式

通过以下内容，进一步详细描述本发明。

图1是一种需要进行优化设计的齿轮箱结构，有12个齿轮，4根轴，标号1-12表达的是齿轮，标号Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表达的是轴。

结合图1详细描述本发明，基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，包括如下步骤：

(1)通过齿轮箱原始设计图纸的参数，利用三维建模软件构建齿轮箱的三维实体模型；

(2)将步骤(1)得到的齿轮箱的三维实体模型导入到有限元软件中，齿轮使用的网格采用二十节点六面体等参数单元，轴使用的网格采用轴对称四边形环形单元，生成有限元模型；采用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题，无约束优化问题采用Powell法求解，计算齿轮弯曲疲劳强度的约束条件，轴强度的约束条件需要用到Neumann随机有限元，计算单元刚度矩阵，集成单元刚度矩阵为整体单元刚度矩阵，求解齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差、齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差、轴强度的许用均值和许用方差；

所述得到均值和方差函数的详细过程：

2.1.正态随机变量的模拟：只要产生12个均匀发布随机数，将它们相加起来，再减去6，就能近似地得到标准正态变量的样本值。

如果Z～N(0,1),利用X_i＝μ_i+σ_iZ,正态变量X_i可获得；

其中，～表示服从，表示均值μ_i，方差σ的正态分布；(机械零件材料性能参数，几何尺寸，受到的载荷被看着正态随机变量)

2.Neumann随机有限元

有限元的平衡方程可以通过刚度矩阵的逆矩阵得到

U＝K^-1F

U表示各个节点的位移列阵，K为整体刚度矩阵，F为各个节点的载荷列阵。

K分成两部分

K＝K₀+ΔK

其中K0＝均值部分，△K＝波动部分；

K-1的Neumann展开具有下列形式

U被下列级数代替

U＝U₀-PU₀+P²U₀-P³U₀+L

U＝U₀-U₁+U₂-U₃+L

这个级数的解等于下述递归方程

K₀U_i＝ΔKU_i-1，i＝1,2,_L，n

单元d的应力为

{σ}＝[D][B]{δ^d}

[D]为弹性矩阵，[B]为应变矩阵，{δ^d}为结点位移列阵。

随机变量a₁,a₂,L,a_i,L,的N₁个样本值代入上式,矢量{σ}₁,{σ}₂,L,{σ}_N可以得到；

{σ}的均值为

{σ}的方差为

图2表达的是Neumann随机有限元计算齿轮弯曲应力的均值和方差的过程；

(3)建立齿轮箱的优化数学模型

图1中的齿轮箱由12个齿轮和4根轴组成；

为了清楚表达下述函数，把图1中标号Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表达的是轴用1、2、3、4替代；

设计变量为：x＝(m1，z1，z2，m2，z3，z4，m3，z5，z6，m4，z7，z8，m5，z9，z10，m6，z11，z12，b1，b2，b3，b4，d1，l1，d2，l2，d3，l3，d4，l4)T，

其中，m为齿轮模数，Z为齿轮齿数，d为轴的直径，l为轴的长度；

目标函数为：齿轮箱中所有齿轮、轴的质量和；具体为：

其中ρ为材料密度；

约束条件为

其中，为齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差。为齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差。

其中，为轴危险截面应力的均值和方差，为轴强度的许用均值和许用方差。

m_kl≤m_k≤m_ks(k＝1，2，…，6)

z_kl≤z_k≤z_ks(k＝1，2，…，12)

b_kl≤b_k≤b_ks(k＝1，2，3，4)

d_kl≤d_k≤d_ks(k＝1，2，3，4)

l_kl≤l_k≤l_ks(k＝1，2，3，4)

其中,m_kl,z_kl,b_kl,d_kl,l_kl为设计变量下界值。m_ks,z_ks,b_ks,d_ks,l_ks为设计变量上界值；

(4)根据齿轮箱的优化数学模型，编写计算机运算程序，最后运行计算机运算程序获得最优解。

下表1是图1所示齿轮箱的原始设计与优化设计参数比较；

表1设计参数比较

	m1	m2	m3	m4	m5	m6	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
																原始设计	4	4	4	4	4	4	18	44	27	43	35	35	31	39	25
优化设计	3	3.5	3.5	3.5	4	4	20	41	28	42	35	35	32	38	27
																	z10	z11	z12	b1	b2	b3	b4	d1	l1	d2	l2	d3	l3	d4	l4
原始设计	41	19	47	25	25	25	25	50	350	50	280	50	340	65	290
																优化设计	40	19	42	18	22	25	27	45	280	46	215	48	290	65	240

从表1可以看出，优化效果十分显著，齿轮箱质量下降，体积减小，原材料费用下降，提高了产品质量。

Claims (1)

1.基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，包括如下步骤：

(1)通过齿轮箱原始设计图纸的参数，利用三维建模软件构建齿轮箱的三维实体模型；

(2)将步骤(1)得到的齿轮箱的三维实体模型导入到有限元软件中，齿轮使用的网格采用二十节点六面体等参数单元，轴使用的网格采用轴对称四边形环形单元，生成有限元模型；采用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题，无约束优化问题采用Powell法求解，计算齿轮弯曲疲劳强度的约束条件，轴强度的约束条件需要用到Neumann随机有限元，计算单元刚度矩阵，集成单元刚度矩阵为整体单元刚度矩阵，用Neumann随机有限元求解齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差、齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差、轴强度的许用均值和许用方差；

(3)建立齿轮箱的优化数学模型

设计变量为：齿轮模数、齿轮齿数、轴的直径、轴的长度；

约束条件为：齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差小于齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差小于轴强度的许用均值和许用方差；

目标函数为：齿轮箱中所有齿轮、轴的质量和；

从而立建立齿轮箱的优化数学模型；

(4)根据齿轮箱的优化数学模型，编写计算机运算程序，最后运行计算机运算程序获得最优解。