CN105435997A - 基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法，在构建一组三角函数作为T-Bézier基后，提出了T-Bézier曲线定义及其几何性质；生成工件曲面等距面上的离散点列阵后，用一条T-Bézier曲线拟合这些数据点，然后反求曲线的控制顶点；为保证喷涂空间路径的光滑性，采用Beta约束公式求相邻两段曲线段光滑拼接的条件，从而生成基于T-Bézier曲线的喷涂空间路径。采用T-Bézier曲线不仅提高了机器人喷涂路径规划过程中的灵活性和“柔性”，而且大大简化了复杂曲面上喷涂作业的步骤，满足喷涂效果的同时提高了喷涂效率。

Description

基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法

技术领域

本发明涉及机器人喷涂复杂曲面工件的过程中，基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法。

背景技术

目前，喷涂机器人在汽车制造等工业生产中扮演着举足轻重的作用：它直接影响着涂装线工艺参数稳定性、涂层质量一致性、一次合格率及涂料利用率等。涂层均匀度是机器人喷涂效果的重要指标，在保证最小涂层厚度情况下，均匀的涂层厚度可以减少涂料总量，降低喷涂成本，减轻环境污染。由于待涂工件的多样性和复杂性，国内外尚没有一套通用的喷涂机器人轨迹优化方法。实际应用中，一般是针对不同几何形状的工件，采用不同的喷涂机器人轨迹优化方法，按照由简入难的思路，平面、规则曲面、自由曲面、复杂曲面上喷涂机器人轨迹优化方法相继被提出，这些方法都是基于CAD模型的喷涂机器人离线编程方法。近2年来，又有人提出了更为特殊的曲面上的喷涂机器人轨迹优化方法，如圆锥组合曲面、犄角型曲面、圆形管道曲面、尖角凹凸曲面等。

应当指出，上述国内外研究成果解决了多种工件曲面喷涂问题，具有较好的实际应用价值，尤其是面向复杂曲面的喷涂机器人轨迹优化方法应用比较广泛。

申请号CN201310660713.6专利文献中提出了一种喷涂机器人空间路径规划方法，该方法需要将复杂曲面根据其拓扑结构进行分片，再在每一片上进行路径规划，实际操作较麻烦且耗费大量系统时间，效率偏低。专利ZL200810020500.6中提出了一种复杂曲面上的喷涂机器人喷枪轨迹优化方法，该方法中提出将复杂曲面三角网格划分后分片进行处理，再经过片上轨迹优化、每两片交界处轨迹优化、每一片喷涂轨迹优化组合等三次优化过程。该方法易出现以下两个问题：(1)在将片与片交界处的喷涂优化轨迹合并过程中误差较大，导致交界处涂层厚度均匀性变差；(2)随着每片上喷涂轨迹优化组合问题中种群规模的增加，使用现有的自然启发算法收敛速度较慢，且算法易陷入不同的局部最优域，导致喷涂效果变差，效率降低。

近年来最新的研究成果显示，由于NURBS(非均匀有理B样条)方法有诸多缺点，为了实现自由型曲线曲面更加灵活的交互设计，针对Bézier方法的优势，人们将目光重新转回到了Bézier曲线曲面方法中。而Bézier曲线特有的、灵活的调控性质使得其在工业机械手、移动机器人、蛇形机器人平滑路径规划问题中都表现出了较好的柔性度。因此，利用Bézier曲线规划机器人喷涂路径将会具有很好的实际工程应用价值。

发明内容

为了解决机器人喷涂复杂曲面时分片多、系统执行慢、效率低等问题，本发明提出一种基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法，该方法充分利用了Bézier曲线特点，不需要对复杂曲面分片即可完成喷涂机器人路径规划。本发明旨在增强机器人喷涂路径形状控制的灵活度和柔性，突破复杂曲面喷涂路径规划效率低的技术局限。

本发明的目的通过以下技术方案予以实现：

一种基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法，包括以下步骤：

(1)构造一组三角函数作为T-Bézier基，定义4个初始T-Bézier基函数：

B_0,3(t)＝(cost)⁴

B_1,3(t)＝2(cost)⁴(sint)²

B_2,3(t)＝2(sint)⁴(cost)²

B_3,3(t)＝(sint)⁴

其中 $t\∈\[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}\].$

当n>3时，T-Bézier基函数为：

B_i,n(t)＝(cost)²B_i,n-1(t)+(sint)²B_i-1,n-1(t)

其中，i表示控制顶点个数，且0<i≤n，n表示阶次；

(2)定义T-Bézier曲线表达式并分析其几何性质

根据T-Bézier基给出n次T-Bézier曲线表达式：

$p\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(t\right)V_i,t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;$

其中，是T-Bézier基函数，V_i是控制顶点；

将控制顶点V_i顺序首尾相接，从V₀的末端到V_n的末端所形成的折线称为Bézier多边形；T-Bézier曲线几何性质如下：

端点的几何性质：T-Bézier曲线的首末端点正好分别是Bézier多边形的首末端点，即有 $p\left(0\right)=V_0,p\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\right)=V_n;$

对称性：若将Bézier多边形的控制顶点顺序取反，则连接相反顺序的控制顶点仍可得到同一条曲线，且曲线方向相反，即：

$p(V_n,V_{n-1},...,V_0;t)=p(V_0,V_1,...,V_n;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-t)---\left(9\right)$

仿射不变性：在仿射变换下不改变曲线形状，即：

p(V₀+r,V₁+r,…,V_n+r；t)＝p(V₀,V₁,…,V_n；t)+r

（10）

p(V₀ ^*T,V₁ ^*T,…,V_n ^*T；t)＝p(V₀,V₁,…,V_n；t)^*T

其中，r是任意向量，T是任意(n+1)×(n+1)矩阵；

(3)基于T-Bézier曲线的机器人喷涂路径生成

求得曲面等距面的离散点列，将离散点列作为喷涂点列，用若干条T-Bézier曲线拟合离散点列，然后反求曲线的控制顶点，控制顶点就是机器人的位置点，再将相邻两条T-Bézier曲线段光滑拼接，即可获得喷涂空间机器人路径；

具体的，首先，将离散点列表示成数据点集合：

P_i(i＝0,1,…,m)

m为数据点个数，求一条T-Bézier曲线拟合这些数据点，T-Bézier曲线可表示为：

$p\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(t\right)V_i,t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;$

其次，控制顶点V_i待定，采用最小二乘法求T-Bézier曲线；对离散点列P_i(i＝0,1,…,m)进行参数化，采用规范积累弦长参数化决定参数序列：0＝t₀<t₁<…<t_m＝1；

于是有：

$p\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{j,n}\left(t_i\right)V_j=P_i,i=0,1,...,m$

其中，j表示参数化后的控制顶点个数；

第三步，求解方程组的最小二乘解，即求解如下正则化方程：

${\mathrm{\&Phi;}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\begin{array}{c}{V}_0\\ V_1\\ .\\ .\\ .\\ V_n\end{array}\right)={\mathrm{\&Phi;}}^T\left(\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ .\\ .\\ .\\ P_n\end{array}\right)$

其中，

V₀＝P₀,V_n＝P_m，即曲线两端点与数据点的首末点重合；此时正则化方程就变为如下方程组：

$\underset{j=1}{\overset{n-1}{\&Sigma;}}{B}_{j,n}\left(t_i\right)V_j=P_i-\&lsqb;B_{0,n}\left(t_i\right)P_0+B_{n,n}\left(t_i\right)P_m\&rsqb;,j=1,2,Lm-1$

则它的最小二乘解V_j(j＝1,2,…,n-1)连同两端点P₀,P_m组成了曲线的控制顶点。

进一步地，所述步骤(3)中，采用Beta约束公式求相邻两条T-Bézier曲线段光滑拼接的条件；设左侧曲线p_-(t)控制顶点为右侧曲线p₊(t)控制顶点为两条T-Bézier曲线段要做到于连接点处有公共的单位切矢和曲率矢，则需满足以下条件：

p₊(0)＝p_-(1)

p'₊(0)＝β₁p'_-(1)

$p_{+}^{\&prime;\&prime;}\left(0\right)={\mathrm{\&beta;}}_2{p}_{-}^{\&prime;}\left(1\right)+{\mathrm{\&beta;}}_1^2{p}_{-}^{\&prime;\&prime;}\left(1\right)$

其中β₁、β₂为系数；

求p(t)的导数，上述条件可变为：

$V_0^{+}=V_n^{-}$

${\mathrm{m\&Delta;V}}_0^{+}={\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{n\&Delta;V}}_{n-1}^{-}$

其中△是差分算子，即：

${\mathrm{\&Delta;V}}_0^{+}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_{1}n}{m}{\mathrm{\&Delta;V}}_{n-1}^{-}$

$m(m-1){\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_0^{+}={\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{n\&Delta;V}}_{n-1}^{-}+{\mathrm{\&beta;}}_1^{2}n(n-1){\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_{n-2}^{-}$

即：

${\mathrm{\&Delta;V}}_1^{+}=\frac{n(n-1)}{m(m-1)}{\mathrm{\&beta;}}_1^2{\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_{n-2}^{-}+\frac{n}{m(m-1)}{\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{\&Delta;V}}_{n-1}^{-}$

至此，相邻两段光滑拼接后得到的曲线即为指定的喷涂空间路径。

本发明所述的基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法，其特征在于，该方法用于复杂曲面上的机器人路径规划、或机器人研磨复杂曲面的路径规划、或复杂曲面上的清洁机器人路径规划。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：机器人对复杂曲面喷涂作业时，不需要对复杂曲面分片即可规划出喷涂路径，省去了后续的分片与分片的优化组合算法就可以实现较好的喷涂效果，大大简化了复杂曲面喷涂作业步骤，提高了系统运算速度；同时增强了喷涂路径形状控制的潜在灵活性，使得算法简单又稳定可靠，易于编程实现，十分有利于复杂曲面自动喷涂路径的快速生成，可提高喷涂机器人工作效率和产品品质。

附图说明

图1为U向喷涂路径。

图2为V向喷涂路径。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例对本发明作进一步的说明，但本发明的保护范围并不限于此。

本发明实施步骤主要由构造一组新的三角函数基作为T-Bézier基、定义T-Bézier曲线表达式并分析其几何性质、基于T-Bézier曲线的机器人喷涂路径生成三部分组成，具体实施方式如下。

1、构造一组三角函数基作为T-Bézier基

定义4个初始T-Bézier基函数：

B_0,3(t)＝(cost)⁴

B_1,3(t)＝2(cost)⁴(sint)²

（1）

B_2,3(t)＝2(sint)⁴(cost)²

B_3,3(t)＝(sint)⁴

其中 $t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;.$

当n>3时，T-Bézier基函数为：

B_i,n(t)＝(cost)²B_i,n-1(t)+(sint)²B_i-1,n-1(t)(2)

其中，i表示控制顶点个数，且0<i≤n，n表示阶次。

本发明所构造的T-Bézier基具有如下的性质：

1)规范性：

$\underset{i=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(t\right)=1---\left(3\right)$

2)非负性：

B_i,n(t)≥0(4)

3)端点性质：

$B_{0,n}\left(0\right)=B_{n,n}\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\right)=1,B_{0,n}\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\right)=B_{n,n}\left(0\right)=0,B_{i,n}\left(0\right)=B_{i,n}\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\right)=0,0<i<n---\left(5\right)$

4)线性无关性：B_0,n(t)，B_1,n(t)，...,B_i,n(t)是线性无关的。

5)对称性：

$B_{i,n}\left(t\right)=B_{n-i,n}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-t).---\left(6\right)$

6)B-基特性：B_0,n(t)，B_1,n(t)，...,B_i,n(t)是由1,cost,…,cosnt生成的正规B基。

事实上，由性质1)和性质2)可知，T-Bézier基是标准正基，又由洛必达法则可知：

$inf\left\{\frac{B_{i,n}\left(t\right)}{B_{j,n}\left(t\right)}\right|B_{j,n}\left(t\right)\&NotEqual;0\}=0.---\left(7\right)$

2、定义T-Bézier曲线表达式并分析其几何性质

根据T-Bézier基给出n次T-Bézier曲线表示为：

$p\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(t\right)V_i,t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;.---\left(8\right)$

其中是T-Bézier基函数，V_i(i＝0,1,…,n)是控制顶点，将V_i顺序首尾相接，从V₀的末端到V_n的末端所形成的折线称为控制多边形或Bézier多边形。T-Bézier曲线的几何性质主要有：

1)端点的几何性质

T-Bézier曲线的首末端点正好分别是Bézier多边形的首末端点，即有 $p\left(0\right)=V_0,p\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\right)=V_n.$

2)对称性

若将Bézier多边形的控制顶点顺序取反，则连接相反顺序的控制顶点仍可得到同一条曲线，且曲线方向相反，即：

$p(V_n,V_{n-1},...,V_0;t)=p(V_0,V_1,...,V_n;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-1)---\left(9\right)$

3)仿射不变性

在仿射变换下不改变曲线形状，即：

p(V₀+r,V₁+r,…,V_n+r；t)＝p(V₀,V₁,…,V_n；t)+r

（10）

p(V₀*T,V₁*T,…,V_n*T；t)＝p(V₀,V₁,…,V_n；t)*T

其中，r是任意向量，T是任意(n+1)×(n+1)矩阵。

3、基于T-Bézier曲线的机器人喷涂路径生成

如同从Bézier曲线得到张量积Bézier曲面一样，T-Bézier曲线可得到如下的张量积T-Bézier曲面：

$p(u,v)=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(u\right)B_{j,m}\left(v\right)V_{i,j}---\left(11\right)$

其中，V＝[V_i,j]为曲面控制顶点。控制顶点分别沿U向和V向形成控制多边形，一起组成曲面的控制网格；B_i,n(u),B_j,m(v)分别是n次和m次T-Bézier基。在求得曲面等距面的离散点列后，将离散点列(U向或V向)看成喷涂实验数据点列，用一条T-Bézier曲线拟合这些数据点，然后反求曲线的控制顶点，即可获得喷涂空间路径和路径上的机器人位置点。下面以U向为例具体说明其步骤。

第一步，将离散点列表示成数据点集合：

P_i(i＝0,1,L,m)(12)

m为数据点个数。求一条T-Bézier曲线拟合这些数据点，曲线可表示为：

$p\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(t\right)V_i,t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;---\left(13\right)$

第二步，控制顶点V_i待定，采用最小二乘法求该曲线。对P_i(i＝0,1,…,m)进行参数化，采用规范积累弦长参数化决定参数序列：0＝t₀<t₁<…<t_m＝1，于是有：

$p\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{j,n}\left(t_i\right)V_i=P_i,i=0,1,...,m---\left(14\right)$

其中，j表示参数化后的控制顶点个数。

第三步，求解方程组的最小二乘解，即求解如下正则化方程：

${\mathrm{\&Phi;}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\begin{array}{c}{V}_0\\ V_1\\ .\\ .\\ .\\ V_n\end{array}\right)={\mathrm{\&Phi;}}^T\left(\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ .\\ .\\ .\\ P_n\end{array}\right)---\left(15\right)$

其中，

实际应用中有V₀＝P₀,V_n＝P_m，即曲线两端点与数据点的首末点重合。此时方程(15)就变为如下方程组：

$\underset{j=1}{\overset{n-1}{\&Sigma;}}{B}_{j,n}\left(t_i\right)V_j=P_i-\&lsqb;B_{0,n}\left(t_i\right)P_0+B_{n,n}\left(t_i\right)P_m\&rsqb;,j=1,2,Lm-1---\left(17\right)$

则它的最小二乘解V_j(i＝1,2,L,n-1)连同两端点P₀,P_m组成了曲线的控制顶点。

为保证喷涂空间路径的光滑性，避免出现尖点，采用Beta约束公式求相邻两段曲线段光滑拼接的条件。设左侧曲线p_-(t)控制顶点为右侧曲线p₊(t)控制顶点为两曲线段要做到于连接点处有公共的单位切矢和曲率矢，则需满足以下条件：

p₊(0)＝p_-(1)(18)

p'₊(0)＝β₁p'_-(1)(19)

$p_{+}^{\&prime;\&prime;}\left(0\right)={\mathrm{\&beta;}}_2{p}_{-}^{\&prime;}\left(1\right)+{\mathrm{\&beta;}}_1^2{p}_{-}^{\&prime;\&prime;}\left(1\right)---\left(20\right)$

其中β₁、β₂为系数。求p(t)的导数，上述条件可变为：

$V_0^{+}=V_n^{-}---\left(21\right)$

${\mathrm{m\&Delta;V}}_0^{+}={\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{n\&Delta;V}}_{n-1}^{-}---\left(22\right)$

其中△是差分算子，即：

${\mathrm{\&Delta;V}}_0^{+}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_{1}n}{m}{\mathrm{\&Delta;V}}_{n-1}^{-}---\left(23\right)$

$m(m-1){\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_0^{+}={\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{n\&Delta;V}}_{n-1}^{-}+{\mathrm{\&beta;}}_1^{2}n(n-1){\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_{n-2}^{-}---\left(24\right)$

即：

${\mathrm{\&Delta;V}}_1^{+}=\frac{n(n-1)}{m(m-1)}{\mathrm{\&beta;}}_1^2{\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_{n-2}^{-}+\frac{n}{m(m-1)}{\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{\&Delta;V}}_{n-1}^{-}---\left(25\right)$

至此，相邻两段光滑拼接后得到的曲线即为指定的喷涂空间路径。

实际应用中，有可能无论怎样移动或调整控制顶点都达不到理想的曲线(喷涂路径)形状，也就是曲线“刚性”有余，“柔性”不足。而在T-Bézier曲线设计中，在保持曲线形状不变的前提下，可以通过增加控制顶点的数目来提高曲线设计的灵活性，从而可以降低复杂曲面上喷涂路径的“刚性”，增加了其“柔性”，即增强了对复杂曲面上喷涂路径形状控制的灵活性。

采用基于T-Bézier曲线的自动喷涂空间路径生成方法可以获得该工件表面U向空间路径和V向空间路径，如附图1和附图2所示，U向路径离散点列阵中共有282个离散点，V向路径离散点列阵中共有312个离散点。

本发明公开的是一种复杂曲面上的喷涂机器人路径规划方法，也可用于机器人研磨复杂曲面的路径规划、复杂曲面上的清洁机器人路径规划等，所不同的是机器人用途不同，但不影响方法使用效果。

所述实施例为本发明的优选的实施方式，但本发明并不限于上述实施方式，在不背离本发明的实质内容的情况下，本领域技术人员能够做出的任何显而易见的改进、替换或变型均属于本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)构造一组三角函数作为T-Bézier基，定义4个初始T-Bézier基函数：

B_0,3(t)＝(cost)⁴

B_1,3(t)＝2(cost)⁴(sint)²

B_2,3(t)＝2(sint)⁴(cost)²

B_3,3(t)＝(sint)⁴

其中 $t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;;$

当n>3时，T-Bézier基函数为：

B_i,n(t)＝(cost)²B_i,n-1(t)+(sint)²B_i-1,n-1(t)

其中，i表示控制顶点个数，且0<i≤n，n表示阶次；

(2)定义T-Bézier曲线表达式并分析其几何性质

根据T-Bézier基给出n次T-Bézier曲线表达式：

$p\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(t\right)V,t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;$

其中， ${\left\{B_{i,n}\left(t\right)\right\}}_{i=0}^n$ 是T-Bézier基函数，V_i(i＝0,1,…,n)是控制顶点；

将控制顶点V_i顺序首尾相接，从V₀的末端到V_n的末端所形成的折线称为Bézier多边形；T-Bézier曲线几何性质如下：

端点的几何性质：T-Bézier曲线的首末端点正好分别是Bézier多边形的首末端点，即有

$p\left(0\right)=V_0,p\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\right)=V_n;$

对称性：若将Bézier多边形的控制顶点顺序取反，则连接相反顺序的控制顶点仍可得到同一条曲线，且曲线方向相反，即：

$p(V_n,V_{n-1},...,V_0;t)=p(V_0,V_1,...,V_n;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-1)---\left(9\right)$

仿射不变性：在仿射变换下不改变曲线形状，即：

p(V₀+r,V₁+r,…,V_n+r；t)＝p(V₀,V₁,…,V_n；t)+r

(10)

p(V₀*T,V₁*T,…,V_n*T；t)＝p(V₀,V₁,…,V_n；t)*T

其中，r是任意向量，T是任意(n+1)×(n+1)矩阵；

(3)基于T-Bézier曲线的机器人喷涂路径生成

求得曲面等距面的离散点列，将离散点列作为喷涂点列，用若干条T-Bézier曲线拟合离散点列，然后反求曲线的控制顶点，控制顶点就是机器人的位置点，再将相邻两条T-Bézier曲线段光滑拼接，即可获得喷涂空间机器人路径；

具体的，首先，将离散点列表示成数据点集合：

P_i(i＝0,1,…,m)

m为数据点个数，求一条T-Bézier曲线拟合这些数据点，T-Bézier曲线可表示为：

$p\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{i,n}\left(t\right)V_i,t\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&rsqb;$

其次，控制顶点V_i待定，采用最小二乘法求T-Bézier曲线；对离散点列P_i(i＝0,1,…,m)进行参数化，采用规范积累弦长参数化决定参数序列：0＝t₀<t₁<…<t_m＝1；

于是有：

$p\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{B}_{j,n}\left(t_i\right)V_j=P_i,i=0,1,...,m$

其中，j表示参数化后的控制顶点个数；

第三步，求解方程组的最小二乘解，即求解如下正则化方程：

${\mathrm{\&Phi;}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\begin{array}{c}{V}_0\\ V_1\\ .\\ .\\ .\\ V_n\end{array}\right)={\mathrm{\&Phi;}}^T\left(\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ .\\ .\\ .\\ P_n\end{array}\right)$

其中，

V₀＝P₀,V_n＝P_m，即曲线两端点与数据点的首末点重合；此时正则化方程就变为如下方程组：

$\underset{j=1}{\overset{n-1}{\&Sigma;}}{B}_{j,n}\left(t_i\right)V_j=P_i-\&lsqb;B_{0,n}\left(t_i\right)P_0+B_{n,n}\left(t_i\right)P_m\&rsqb;,j=1,2,Lm-1$

则它的最小二乘解V_j(j＝1,2,…,n-1)连同两端点P₀,P_m组成了曲线的控制顶点。

2.如权利要求1所述的基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法，其特征在于，所述步骤(3)中，采用Beta约束公式求相邻两条T-Bézier曲线段光滑拼接的条件；设左侧曲线p_-(t)控制顶点为右侧曲线p₊(t)控制顶点为两条T-Bézier曲线段要做到于连接点处有公共的单位切矢和曲率矢，则需满足以下条件：

p₊(0)＝p_-(1)

p'₊(0)＝β₁p'_-(1)

p″₊(0)＝β₂p′_-(1)+β₁ ²p″_{_}(1)

其中β₁、β₂为系数；

求p(t)的导数，上述条件可变为：

$V_0^{+}=V_n^{-}$

${\mathrm{m\&Delta;V}}_0^{+}={\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{n\&Delta;V}}_{n-1}^{-}$

其中△是差分算子，即：

${\mathrm{\&Delta;V}}_0^{+}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_{1}n}{m}{\mathrm{\&Delta;V}}_{n-1}^{-}$

$m(m-1){\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_0^{+}={\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{n\&Delta;V}}_{n-1}^{-}+{\mathrm{\&beta;}}_1^{2}n(n-1){\mathrm{\&Delta;}}^2{V}_{n-2}^{-}$

即：

至此，相邻两段光滑拼接后得到的曲线即为指定的喷涂空间路径。

3.如权利要求1所述的基于Bézier曲线的喷涂机器人路径规划方法，其特征在于，该方法用于复杂曲面上的机器人路径规划、或机器人研磨复杂曲面的路径规划、或复杂曲面上的清洁机器人路径规划。