CN104993757B - 双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种双馈感应风力发电机的电势角度模型及其推导方法，重新定义了极坐标形式和直角坐标形式的实用变量，提出了DFIG电势角度模型。该模型的特点是：以电势、角度和转速为状态变量，在形式上与同步发电机方程相似；有利于对DFIG内电势角度的理解，有利于功角稳定和电压稳定的分析计算；准确计及了频率变化的影响。本发明为深入研究DFIG的励磁控制策略制提供了理论依据，为利用DFIG机组励磁控制来提高电网的稳定性提供了模型基础。

Description

双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法
技术领域
本发明涉一种双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法，属于发电机技术领域。
背景技术
目前风力发电机组普遍采用基于电力电子变流器的变速恒频技术，双馈感应风力发电机(DFIG)是其中的代表机型。DFIG机组通过对交流励磁的控制实现了最大功率跟踪、有功无功解耦控制等特性，是当前并网风电场中使用的主流机型。随着风电并网容量的增加，风力发电系统与电网之间的交互影响成为研究的重点，作为研究基础的风电机组模型也得到了广泛的研究。完整的DFIG机组模型包括风力机模型、发电机模型(包含轴系)、变流器模型、控制器模型等部分，其中DFIG发电机模型在不同的参考坐标系和不同的详略程度下有不同的形式。
从控制的角度来说，由于DFIG机组的交流励磁方式比同步发电机的直流励磁方式具有更大的灵活性，如何改进DFIG机组的控制方式以提高电网稳定性是一个非常值得研究的课题。在电网动态过程中，对发电机内电势进行合理控制是提高电网稳定性的重要手段。但是，现有的DFIG模型与同步发电机模型有较大差异，不利于对DFIG内电势的理解，不利于功角稳定、电压稳定的分析计算，也难以用于研究提高电网稳定性的控制方式。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供一种双馈感应风力发电机的电势角度模型，解决现有技术中DFIG模型都是直角坐标形式，难以直接用于角度相关问题研究的技术问题。
为解决上述技术问题，本发明提供一种双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法，包括如下步骤：
双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法，包括如下步骤：
步骤一：设定子磁链旋转速度为同步速ωs，转子旋转速度为ωr，abc为电机定子坐标，ABC为电机转子坐标，d-q表示转速为同步速ωs的旋转坐标，x-y表示转速为同步速ωs的系统公共坐标，转子绕组A轴领先于定子绕组a轴的角度为θ，d轴领先于a轴的角度为θs，d轴领先A轴的角度为θr，其中：θr＝θs-θ，滑差按照发电机惯例，设电流流出电机为正，重新定义实用变量如下：
式中：Lss,Lrr,Lm分别为定子绕组电感、转子绕组电感和定子绕组与转子绕组之间的互感；Rr为转子绕组电阻；ψqr为转子磁链的q轴分量；ψdr为转子磁链的d轴分量；udr为转子电压的d轴分量；uqr为转子电压的q轴分量；
步骤二：根据重新定义的实用变量求解电压方程：
式中：Rs为定子绕组电阻；ids为定子电流的d轴分量；iqs为定子电流的q轴分量；
步骤三：根据重新定义的实用变量求解暂态电动势方程：
步骤四：根据重新定义的实用变量分别求解功率方程与转矩方程：
功率方程为：
转矩方程为：Te＝E′dids+E′qiqs (5)
式中：Pe为定子输出功率；Pem为电磁功率；uabc为abc坐标下的电压；iabc为abc坐标下的电流；Ps为派克变换矩阵；uds为定子电压的d轴分量；uqs为定子电压的q轴分量；
步骤五：通过Park变换，将定子abc变量和转子ABC变量均转换到公共的dq0坐标中的变量，定义相量的虚轴j与q轴重合，实轴r与d轴重合，定义α为与d轴之间的角度，β为与d轴之间的角度，δ为与之间的角度，V为端口电压的幅值，角度以超前为正，
δ＝β-α (6)
uds＝Vcosα,uqs＝Vsinα (7)
E′d＝E′cosβ,E′q＝E′sinβ (8)
步骤六：求解相量形式的电压方程：将式(2)中第2个方程乘以j之后与第1个方程相加，经过推导可得：
式中：Rs为定子绕组电阻；ZS＝Rs+jωsL′，表示重新定义实用变量方式下的定子等效阻抗；
步骤七：求解极坐标形式的电势方程：
将式(8)代入式(3)的第1个方程得
将式(8)代入式(3)的第2个方程得
将(11)式乘以cosβ、(12)式乘以sinβ，然后相加，经过推导可得
将(12)式乘以cosβ、(11)式乘以sinβ，然后相减，经过推导可得
忽略定子电阻，即令
Rs＝0 (15)
将(7)和(15)式代入(2)式有
由此可得
由此可得式(13)中
还可得式(14)中
令
将式(18)代入式(13)有
将式(19)和滑差代入式(14)，经整理可得
由于与d轴速度均为同步速，所以角度α恒定，故
将式(23)代入式(22)可得
将式(8)、(17)代入式(5)，经过推导可得
将此代入发电机转子运动方程，采用单质块模型
其中，TJ为惯性时间常数，Tm为机械转矩；
综合式(21)和(24)-(26)，最终得到极坐标形式的电势角度模型为
与现有技术相比，本发明所达到的有益效果是：重新定义了异步发电机的实用变量，电势角度模型以电势、角度和转速为状态变量，在形式上与同步发电机方程相似，有利于对DFIG内电势角度的理解，有利于功角稳定和电压稳定的分析计算；准确计及了频率变化的影响，为深入研究DFIG的励磁控制策略制提供了理论依据，为利用DFIG机组励磁控制来提高电网的稳定性提供了模型基础。
附图说明
图1是坐标空间向量图。
图2是角度定义示意图。
图3是双馈感应风力发电机的等效电路图。
具体实施方式
本发明提出的双馈感应风力发电机的电势角度模型，以电势、角度和转速为状态变量，在形式上与同步发电机方程相似，有利于对DFIG内电势角度的理解，有利于功角稳定和电压稳定的分析计算；准确计及了频率变化的影响，为深入研究DFIG的励磁控制策略制提供了理论依据，为利用DFIG机组励磁控制来提高电网的稳定性提供了模型基础，具体的电势角度模型如下：
式中：L＝Lss，Lss为定子绕组电感，Lm为定子绕组与转子绕组之间的互感，Lrr为转子绕组电感，Rr为转子绕组电阻；E′为暂态电动势的幅值；V为端口电压的幅值；δ为与之间的角度；β为与d轴之间的角度；udr为转子电压的d轴分量；uqr为转子电压的q轴分量；ωr为转子转速；ωs为同步速；TJ为惯性时间常数；Tm为机械转矩。
本发明还提出了上述双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法，下面结合附图对其作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法，包括如下步骤：
步骤一：如图1所示，设定子磁链旋转速度为同步速ωs，转子旋转速度为ωr，abc为电机定子坐标，ABC为电机转子坐标，d-q表示转速为同步速ωs的旋转坐标，x-y表示转速为同步速ωs的系统公共坐标，转子绕组A轴领先于定子绕组a轴的角度为θ，d轴领先于a轴的角度为θs，d轴领先A轴的角度为θr，其中：θr＝θs-θ，s为滑差，对于DFIG风力发电机可正可负，滑差按照发电机惯例，设电流流出电机为正。
1、计算abc坐标下的方程：
abc坐标下的磁链方程可以简写为
注意到转子是隐极而且转子上绕组也是三相对称的，所以定子电感Lss、转子电感Lrr均是恒定的，但定子与转子之间的电感由于转子旋转而时变。
abc坐标下的电压方程可以简写为；
abc坐标下的输出功率方程为：
Pe＝uaia+ubib+ucic (c)
abc坐标下的电磁转矩方程为：
2、计算dq0坐标下的方程
通过Park变换，可以将定子abc变量和转子ABC变量均转换到公共的dq0坐标中的变量，推导出相应的方程。
对定子磁链方程式进行Park变换，经过推导，一般不考虑0分量，可得定子磁链方程为：
转子磁链方程为
对定子绕组的电压方程式(b)进行Park变换，可得定子电压方程为
转子电压方程为
式中，Lss,Lrr,Lm为定子绕组电感、转子绕组电感和定子绕组与转子绕组之间的互感；Rs,Rr为定子绕组电阻和转子绕组电阻。
由此可见定子和转子电压均由三项组成，第一项为欧姆电压项，第二项为磁链变化引起的脉变电压，第三项为速度电势。值得注意的是，转子电压中比同步发电机多出了速度电势，此速度电势是由于转子转速与同步转速的相对运动引起的。如果转子转速也为同步转速时，此项即消失。另一点值得注意的是，同步发电机和异步电动机时的转子电压为零，而异步发电机的转子电压则不为零。
经过合适选择基准值，标幺值功率方程为
即电磁功率为定子输出功率加上定子铜耗，如果忽略定子铜耗，则两者相等。可以证明，电磁转矩方程为
Te＝Lm(iqsidr-idsiqr) (j)
上述dq0坐标下的模型，也可称之为电磁暂态模型或者Park模型。在进行电力系统机电暂态过程分析时，通常忽略电机的定子暂态过程获得机电暂态模型，通过定义实用变量获得相应的实用模型。
重新定义实用变量如下：
式中：Lss,Lrr,Lm分别为定子绕组电感、转子绕组电感和定子绕组与转子绕组之间的互感；Rr为转子绕组电阻；ψqr为转子磁链的q轴分量；ψdr为转子磁链的d轴分量；udr为转子电压的d轴分量；uqr为转子电压的q轴分量。
下面先给出传统定义下的实用模型方程，然后利用传统定义下的实用模型方程推导出新定义下的实用模型方程，最后利用新定义下的实用模型方程推导出极坐标形式的实用模型方程。
3、传统定义下的实用模型方程
在进行电力系统分析中，尤其是进行机电暂态过程分析时，由于发电机定子绕组电磁暂态的时间常数很小，所以通常忽略电机的定子暂态，即令
传统上采用如下的实用变量定义
由式(f)可得
将式(w)、(m)定义的各变量代入式(h)，以直轴方程为例
由于
将式(o)代入式(n)，经过整理可得
类似地可得
而以往文献中的实用模型方程是
采用标幺值时，角速度与频率是相等的，即ωs＝f。对比方程式(r)和(p)、(q)可见，传统的实用模型方程实际上忽略了频率的导数项，也就是近似的。
步骤二：根据重新定义的实用变量求解电压方程：
以直轴方程为例，将式(m)代入式(e)可得
将式(1)和(s)代入定子电压方程式(g)可得
类似地可得交轴方程,从而获得电压方程如下：
式中：Rs为定子绕组电阻；ids为定子电流的d轴分量；iqs为定子电流的q轴分量。
步骤三：根据重新定义的实用变量求解暂态电动势方程：
以直轴方程为例，将式(m)及式(1)代入式(h)可得
经过整理可得
类似地可得交轴方程，从而获得电势方程如下
步骤四：根据重新定义的实用变量分别求解功率方程与转矩方程：
功率方程保持不变，为：
由式(g)、(i)、(j)和(k)可得
再将式(2)代入上式可得转矩方程为：
Te＝E′dids+E′qiqs (5)
式中：Pe为定子输出功率；Pem为电磁功率；uabc为abc坐标下的电压；iabc为abc坐标下的电流；Ps为Park变换矩阵；uds为定子电压的d轴分量；uqs为定子电压的q轴分量。
步骤五：通过Park变换，将定子abc变量和转子ABC变量均转换到公共的dq0坐标中的变量，定义相量的虚轴j与q轴重合，实轴r与d轴重合，定义α为与d轴之间的角度，β为与d轴之间的角度，δ为与之间的角度，角度以超前为正，
δ＝β-α (6)
uds＝Vcosα,uqs＝Vsinα (7)
E′d＝E′cosβ,E′q＝E′sinβ (8)
步骤六：求解相量形式的电压方程：将式(2)中第2个方程乘以j之后与第1个方程相加，经过推导可得：
式中：Rs为定子绕组电阻；ZS＝Rs+jωsL′，表示重新定义实用变量方式下的定子等效阻抗；由此可得双馈感应风力发电机的等效电路图，如图3所示。
步骤七：求解极坐标形式的电势方程：
将式(8)代入式(3)的第1个方程得
将式(8)代入式(3)的第2个方程得
将(11)式乘以cosβ、(12)式乘以sinβ，然后相加，经过推导可得
将(12)式乘以cosβ、(11)式乘以sinβ，然后相减，经过推导可得
忽略定子电阻，即令
Rs＝0 (15)
将(7)和(15)式代入(2)式有
由此可得
由此可得式(13)中
还可得式(14)中
令
将式(18)代入式(13)有
将式(19)和滑差代入式(14)，经整理可得
由于与d轴速度均为同步速，所以角度α恒定，故
将式(23)代入式(22)可得
将式(8)、(17)代入式(5)，经过推导可得
将此代入发电机转子运动方程，采用单质块模型
其中，TJ为惯性时间常数，Tm为机械转矩；
综合式(21)和(24)-(26)，最终得到极坐标形式的电势角度模型为
模型中的β角与控制器所采用的定向控制方式有关。如果采用定子电压定向，即位于d轴，则有
α＝0,β＝δ,uds＝V,uqs＝0 (28)
则式(27)中
如果采用定子磁链定向，即磁链定向到d轴，也就是(超前磁链90度)位于q轴，则有
α＝90°,β＝90°+δ,uds＝0,uqs＝V (30)
则式(27)中
上面推导出的极坐标形式的电势模型方程式(27)，其特点是以电势、角度和转速作为状态变量，在形式上与同步发电机方程相似，有助于对异步发电机内电势和角度的理解，有利于功角稳定、电压稳定的分析计算。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.双馈感应风力发电机的电势角度模型的推导方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一：设定子磁链旋转速度为同步速ωs，转子旋转速度为ωr，abc为电机定子坐标，ABC为电机转子坐标，d-q表示转速为同步速ωs的旋转坐标，x-y表示转速为同步速ωs的系统公共坐标，转子绕组A轴领先于定子绕组a轴的角度为θ，d轴领先于a轴的角度为θs，d轴领先A轴的角度为θr，其中：θr＝θs-θ，滑差按照发电机惯例，设电流流出电机为正，重新定义实用变量如下：
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式中：Lss,Lrr,Lm分别为定子绕组电感、转子绕组电感和定子绕组与转子绕组之间的互感；Rr为转子绕组电阻；ψqr为转子磁链的q轴分量；ψdr为转子磁链的d轴分量；udr为转子电压的d轴分量；uqr为转子电压的q轴分量；
步骤二：根据重新定义的实用变量求解电压方程：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>d</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>q</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Rs为定子绕组电阻；ids为定子电流的d轴分量；iqs为定子电流的q轴分量；
步骤三：根据重新定义的实用变量求解暂态电动势方程：
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步骤四：根据重新定义的实用变量分别求解功率方程与转矩方程：
功率方程为：
转矩方程为：Te＝E′dids+E′qiqs (5)
式中：Pe为定子输出功率；Pem为电磁功率；uabc为abc坐标下的电压；iabc为abc坐标下的电流；Ps为派克变换矩阵；uds为定子电压的d轴分量；uqs为定子电压的q轴分量；
步骤五：通过Park变换，将定子abc变量和转子ABC变量均转换到公共的dq0坐标中的变量，定义相量的虚轴j与q轴重合，实轴r与d轴重合，定义α为与d轴之间的角度，β为与d轴之间的角度，δ为与之间的角度，V为端口电压的幅值，E′为暂态电动势的幅值，角度以超前为正，
δ＝β-α (6)
uds＝Vcosα,uqs＝Vsinα (7)
E′d＝E′cosβ,E′q＝E′sinβ (8)
<mrow> <mover> <mi>U</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ju</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msup> <mover> <mi>E</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>d</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>jE</mi> <mi>q</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <mover> <mi>I</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ji</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤六：求解相量形式的电压方程：将式(2)中第2个方程乘以j之后与第1个方程相加，经过推导可得：
<mrow> <mover> <mi>U</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>E</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>j&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>I</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>E</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mi>s</mi> </msub> <mover> <mi>I</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Rs为定子绕组电阻；ZS＝Rs+jωsL′，表示重新定义实用变量方式下的定子等效阻抗；
步骤七：求解极坐标形式的电势方程：
将式(8)代入式(3)的第1个方程得
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>T</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>T</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>dE</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>sin</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msub> <mi>s&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>sin</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(8)代入式(3)的第2个方程得
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>dE</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>sin</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msub> <mi>s&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将(11)式乘以cosβ、(12)式乘以sinβ，然后相加，经过推导可得
<mrow> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>dE</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将(12)式乘以cosβ、(11)式乘以sinβ，然后相减，经过推导可得
<mrow> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msub> <mi>s&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
忽略定子电阻，即令
Rs＝0 (15)
将(7)和(15)式代入(2)式有
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>V</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>d</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>V</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>q</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由此可得
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mi>V</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mi> </mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由此可得式(13)中
<mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
还可得式(14)中
<mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令
将式(18)代入式(13)有
<mrow> <msup> <mi>T</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>dE</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(19)和滑差代入式(14)，经整理可得
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>T</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于与d轴速度均为同步速，所以角度α恒定，故
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(23)代入式(22)可得
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>T</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(8)、(17)代入式(5)，经过推导可得
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mi>V</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>E</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将此代入发电机转子运动方程，采用单质块模型
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其中，TJ为惯性时间常数，Tm为机械转矩；
综合式(21)和(24)-(26)，最终得到极坐标形式的电势角度模型为
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