CN104573881B - 一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测方法 - Google Patents

一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测方法 Download PDF

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CN104573881B CN201510070807.7A CN201510070807A CN104573881B CN 104573881 B CN104573881 B CN 104573881B CN 201510070807 A CN201510070807 A CN 201510070807A CN 104573881 B CN104573881 B CN 104573881B
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Abstract

本发明公开了一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测方法,运用Bayesian方法和EM算法实现对服役设备的退化建模和剩余寿命预测,包括以下步骤:1)随机退化建模;2)基于Bayesian方法的模型随机参数更新;3)剩余寿命预测;4)基于EM算法的模型参数估计。本发明在服役设备剩余寿命预测的指数随机退化模型构建方法中引进了基于EM算法的参数自适应更新机制,使得指数随机退化模型的所有参数都随着服役设备实时数据的积累不断更新,因而预测的结果更能反映设备的实际运行情况,达到减小预测不确定性的目的。本发明不需要多个同类设备历史数据来初始化退化模型,即可自适应地更新模型参数和剩余寿命分布。

Description

一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测方法
技术领域
[0001] 本发明涉及服役设备剩余寿命预测技术领域,具体是一种基于退化数据建模的服 役设备剩余寿命自适应预测方法。
背景技术
[0002] 随着信息和传感技术的快速发展,预测与健康管理(Prognostics and health management,PHM)领域的研究工作引起了更多研究者的兴趣,在此基础上制定的最优维修 决策对提高系统可靠性、预防系统未知失效事件发生以及减少维修费用具有重要的实际效 益。PHM的核心问题,就是根据传感器所获得的监测数据,有效预测设备的剩余寿命。
[0003] 传统的寿命预测方法以失效数据为基础,但是,对于可靠性高、造价昂贵的设备, 通常很难获得大量的同类产品的失效数据。研究表明,较之失效时间数据,退化数据能提供 更多的信息来预测设备的剩余寿命。目前,基于退化建模的剩余寿命预测方法已经成为一 类主要方法。
[0004] 从20世纪70年代起,国外就陆续开始了退化建模的相关研究。Gertsbackh和 Kordonskiy利用退化数据来对设备的可靠性进行评定。Nel son总结了 20世纪90年代以前有 关退化建模的方法。Lu和Meeker采用随机系数回归模型来模拟退化信号,并阐明了根据这 些模型计算寿命分布的各种方法。该文献在退化建模领域具有重要的影响,之后沿着类似 的方向,又出现了很多的扩展和变形。这些研究都是对设备整体共性特征进行寿命预测,设 备间的差异之处没有充分考虑。为了改进这些方面,Gebraeel等提出了一种Bayesian框架 下的随机退化建模方法,通过使用带随机系数的指数模型来描述退化信号的变化过程。在 获取退化监测数据后,采用Bayesian方法对模型的随机参数进行更新,以得到相应的后验 估计,进而预测剩余寿命的概率分布。然而,对于模型中的非随机未知参数(随机参数先验 分布中的参数和误差项的方差参数)却没有提出相应的估计方法,而是假设存在多个同类 设备的历史退化数据,利用统计的方法来对其进行估计。然而,实际中通常很难获得足够多 的同类设备的历史退化数据,尤其是对于新运行的设备而言。因此,有必要研究一种不需要 多个设备历史退化数据的剩余寿命自适应预测方法。
发明内容
[0005] 本发明的目的在于提供一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测 方法,运用Bayesian方法和期望最大化(^Expectation maximization,EM)算法实现对服役 设备的退化建模和剩余寿命预测。
[0006] 为实现上述目的,本发明提供如下技术方案:
[0007] 一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测方法,运用Bayesian方法 和EM算法实现对服役设备的退化建模和剩余寿命预测,包括以下步骤:
[0008] 1)随机退化建模;
[0009] 2)基于Bayesian方法的模型随机参数更新;
[0010] 3)剩余寿命预测;
[0011] 4)基于EM算法的模型参数估计。
[0012] 所述步骤1)具体为:
[0013] 令S⑴表示t时刻的退化量,设备在离散时间监测点It2,...进行退化监测,在指 数随机退化模型下,设备在tk时刻的退化量为:
[0014]
Figure CN104573881BD00081
Cl)
[0015] 其中Φ是固定常数;Θ和β是随机变量,用来描述设备间的个体差异;e(tk)是服从 正态分布的随机误差项,且有ε (tk)〜N (0,〇2);
[0016] 对指数随机模型进行对数变换,得:
[0017]
Figure CN104573881BD00082
(2)
[0018] 其中 Q7 = Ine-O2/^;
[0019] 假设随机参数θ'和邱勺先验分布服从联合的二元正态分布,分别具有均值μ</和μι、 方差
Figure CN104573881BD00083
且相关系数为Po;
[0020] 所述步骤2)具体为:
[0021] 基于步骤1)的模型和参数假设,运用Bayesian理论和服役设备退化的监测数据来 对先验分布中的参数进行更新,得到相应的后验分布;记Lk = L(tk),Li:k= {Li,-_,Lk};假设 在ti,…,tk时刻有退化观测量Li,…,Lk,由于误差项ε (ti),i = I,…,k是独立同分布的随机 变量,在给定Θ7和邱勺条件下,退化样本L1 :k的条件联合密度函数为:
Figure CN104573881BD00084
(3)
[0023] 由于Θ'和β的先验分布是二元正态分布,与样本分布f (L1:k I θ',β)是共辄的,故Θ' 和β关于L1:k的联合后验分布仍然是二元正态分布,S卩
Figure CN104573881BD00085
因此,有:
[0024]
Figure CN104573881BD00086
[0025] 上式对应的参数
Figure CN104573881BD00087
由下面命题给出;
[0026] 命题1:给定到tk时刻的所有退化观测数据I^k=IL1,…,ω,θ',β关于Ll:k的联合 后验分布服从二元正态分布,即:
Figure CN104573881BD00088
具体参数表达式如下:
Figure CN104573881BD00091
[0032] 其中,
Figure CN104573881BD00092
[0033] 由于
Figure CN104573881BD00093
是二元正态分布的,根据二 元正态分布的性质,有如下推论成立;
[0034] 命题2:令〜I L1 :k表示条件随机变量,E (〜L1 :k)表示条件期望,则:
[0035] ①
[0036]
Figure CN104573881BD00094
[0041] 所述步骤3)具体为:
[0042] 在得到Θ'和β的后验估计后,对于给定的失效阈值ω,要实现剩余寿命的预测,首 先要基于到当前时刻tk的退化观测数据Llik预测t+tk时的退化量;对于将来时刻t+tk的退化 量L(t+tk),在给定L1:k的条件下,有以下命题成立;
[0043] 命题3:给定到tk时刻的所有退化观测数据Llik,预测的t+tk时刻对应的退化量L(t+ tk)服从正态分布,且具有的均值和方差分别为:
Figure CN104573881BD00101
[0045] 根据以上结果,设T为设备在tk时刻的剩余寿命,S卩T满足L(t+tk) =1ηω ;于是,在 给定Llik的条件下,预测的剩余寿命的条件概率分布函数
Figure CN104573881BD00102
;为:
Figure CN104573881BD00103
[0047] 其中Z服从标准正态分布,Φ (·)为标准正态随机变量的累积分布函数,且有
[0048]
Figure CN104573881BD00104
[0049] 由于limt—~g⑴=-yfs,k/〇fs,k,所以T的值域为(_°°,°°);考虑至IjT表示设备的寿命 是非负的实数,将在(〇, 0)上截断的累积分布函数作为设备的剩余寿命预测结果,如下式:
[0050]
Figure CN104573881BD00105
[0051] 基于以上的结果,剩余寿命预测的条件概率密度函数为:
[0052]
Figure CN104573881BD00106
[0053] 其中Φ (·)为标准正态随机变量的概率密度函数;
[0054] 通过上面的建模过程,在获得新的退化测量数据后,根据命题1重新计算随机参数 Θ'和邱勺后验分布,由此获得
Figure CN104573881BD00107
的新估计;然后,根据这些更新的参 数,通过更新函数g (t)中
Figure CN104573881BD00108
的值实现对预测的剩余寿命分布的更新;
[0055] 所述步骤4)具体为:
[0056] 在以上的退化建模和剩余寿命预测过程中,模型参数
Figure CN104573881BD00109
是未 知的,令
Figure CN104573881BD001010
1表示模型未知参数;基于极大似然估计的方法,在tk时 亥Ij的监测数据Lk得到后,计算关于Llik的对数似然函数:
[0057] Ik (Θ) =l〇g[p (Li:k| Θ) ] , (11)
[0058] 其中p(L1:k| Θ)表示退化数据L1:k的联合密度函数;
Figure CN104573881BD001011
的极大似然估计
Figure CN104573881BD001012
由下式 得到:
Figure CN104573881BD001013
[0060] 在退化模型⑵中,参数θ 7和β是随机的,采用EM算法实现对Θ的估计;EM算法对Θ 的估计通过迭代以下两步实现:
[0061] I E-step:计算条件期望
Figure CN104573881BD001014
[0063] 其中
Figure CN104573881BD001015
表示基于退化数据L1:k进行估计时第i次迭代的结果;
[0064] Π M-Step:最大化条件期望
Figure CN104573881BD00111
[0066] 为了表示估计的参数依赖于到当前时刻的所有退化监测数据,将基于到tk时刻的 所有退化监测数据Llik估计的参数表示为’
Figure CN104573881BD00112
Figure CN104573881BD00113
[0067] 令EM算法中第i次迭代得到的估计为 完 ? 全对数似然函数为
Figure CN104573881BD00114
[0069] 基于式(13),得到
Figure CN104573881BD00115
如下:
Figure CN104573881BD00116
[0071] 令
Figure CN104573881BD00117
得到第i+Ι步的参数估计
Figure CN104573881BD00118
为··
Figure CN104573881BD00119
[0073]其中:
Figure CN104573881BD00121
[0076] 与现有技术相比,本发明的有益效果是:本发明运用Bayesian方法和期望最大化 (Expectation maximization,EM)算法实现对服役设备的退化建模和剩余寿命预测。具体 地,利用指数随机退化模型来建模设备的退化过程;基于退化监测数据运用Bayesian方法 更新模型的随机参数,进而得到剩余寿命的概率分布函数及点估计;基于设备到当前时刻 的监测数据,利用EM算法对模型中的非随机未知参数进行在线估计,使得模型参数和剩余 寿命分布都能随数据不断更新。本发明在服役设备剩余寿命预测的指数随机退化模型构建 方法中引进了基于EM算法的参数自适应更新机制,使得指数随机退化模型的所有参数都随 着服役设备实时数据的积累不断更新,因而预测的结果更能反映设备的实际运行情况,达 到减小预测不确定性的目的。与现有方法的最大不同之处在于,本发明不需要多个同类设 备历史数据来初始化退化模型,而是自适应地更新模型参数和剩余寿命分布。
附图说明
[0077] 图1是一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测方法的流程图。
具体实施方式
[0078] 下面将结合本发明实施例及附图,对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整 地描述,显然,所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例,而不是全部的实施例。基于本 发明中的实施例,本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实 施例,都属于本发明保护的范围。
[0079] 请参阅图1,本发明实施例中,一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应 预测方法,包括以下步骤:
[0080] 1)随机退化建模
[0081] 指数类随机模型作为描述轴承磨损等累积退化过程的模型,在工程实际中获得了 广泛的应用并取得了很好的预测结果。因此,本方法采用这类退化轨迹模型来描述设备的 退化过程。令S(t)表示t时刻的退化量,设备在离散时间监测点t^ts,...进行退化监测。那 么,在指数随机退化模型下,设备在tk时刻的退化量可以表示为:
Figure CN104573881BD00122
[0083] 其中Φ是固定常数;Θ和β是随机变量,用来描述设备间的个体差异;e(tk)是服从 正态分布的随机误差项,且有ε (tk)〜Ν(0,σ2)。
[0084] 为简单起见,对指数随机模型进行对数变换,可得:
[0085]
Figure CN104573881BD00131
[0086] 其中Q7 = Ine-O2Z^0
[0087] 在本方法中,假设随机参数θ'和邱勺先验分布服从联合的二元正态分布,分别具有 均值μ(/和m、方差:
Figure CN104573881BD00132
> 且相关系数为Po。这一假设区别于其他方法中θ'和β相互独立 性的假设,因而更具一般性。
[0088] 基于以上模型和参数假设,一旦得到服役设备退化的监测数据,就可以通过 Bayesian理论来对先验分布中的参数进行更新,得到相应的后验分布。为简单标记,记Lk = L (tk),Li:k= {Li,…,Lk} 〇
[0089] 2)基于Bayesian方法的模型随机参数更新
[0090] 假设在h,…,tk时刻有退化观测量L1,…,Lk。由于误差项ε (ti),i = 1,…,k是独立 同分布的随机变量,在给定Θ7和邱勺条件下,退化样本Llik的条件联合密度函数为:
[0091]
Figure CN104573881BD00133
[0092] 由于Θ 7和β的先验分布是二元正态分布,与样本分布f (L1:k I Θ 7,β)是共辄的,故Θ 7 和β关于L1:k的联合后验分布仍然是二元正态分布,即
Figure CN104573881BD00134
[0095] 经过一些代数的运算,上式对应的参数
Figure CN104573881BD00135
可以由下面命题 给出。
[0096] 命题1:给定到tk时刻的所有退化观测数据I^k=IL1,…,ω,θ',β关于Ll:k的联合 后验分布服从二元正态分布,即:
Figure CN104573881BD00136
>具体参数表达式如下:
Figure CN104573881BD00137
Figure CN104573881BD00141
[0103] 这里
Figure CN104573881BD00142
[0107] 由于
Figure CN104573881BD00143
是二元正态分布的, 根据二元正态分布的性质,有如下推论成立。
[0108] 命题2:令〜I L1 :k表示条件随机变量,E (〜L1 :k)表示条件期望,则:
Figure CN104573881BD00144
[0115] 3)剩余寿命预测
[0116] 在得到M和β的后验估计后,对于给定的失效阈值ω,要实现剩余寿命的预测,首 先要基于到当前时刻tk的退化观测数据Llik预测t+tk时的退化量。由此,剩余寿命的预测问 题就转化为预测退化量达到失效阈值ω的时间的问题。对于将来时刻t+tk的退化量L (t+ tk),在给定L1:k的条件下,有以下命题成立。
[0117] 命题3:给定到tk时刻的所有退化观测数据L1:k,预测的t+tk时刻对应的退化量L(t+ tk)服从正态分布,且具有的均值和方差分别为:
Figure CN104573881BD00145
[0119] 根据以上结果,设T为设备在tk时刻的剩余寿命,S卩T满足L(t+tk)=lnco。于是,在 给定Llik的条件下,预测的剩余寿命的条件概率分布函数
Figure CN104573881BD00151
为··
[0120]
Figure CN104573881BD00152
[0121] 其中Z服从标准正态分布,Φ (·)为标准正态随机变量的累积分布函数,且有
[0122]
Figure CN104573881BD00153
[0123] 注意至Ijlimt—»g⑴=,,k/〇e,k,所以T的值域为(_°°,°°)。因此,考虑至IjT表示设备 的寿命,是非负的实数,由此得到在(〇,0)上截断的累积分布函数作为设备的剩余寿命预 测结果,表示为:
[0124]
Figure CN104573881BD00154
[0125] 基于以上的结果,剩余寿命预测的条件概率密度函数为:
[0126]
Figure CN104573881BD00155
[0127] 其中Φ (·)为标准正态随机变量的概率密度函数。
[0128] 通过上面的建模过程可以发现,在获得新的退化测量数据后,就可以根据命题1重 新计算随机参数Θ'和β的后验分布,由此获得
Figure CN104573881BD00156
的新估计。然后,根 据这些更新的参数,通过更新函数g(t)中的值可以实现对预测的剩 余寿命分布的更新。
Figure CN104573881BD00157
[0129] 本方法采用如下计算得到剩余寿命的点估计:根据退化失效的定义有L (T+tk)= Ιηω,于是利用预测的t+tk时刻退化量的均值
Figure CN104573881BD00158
替代L(T+tk),使得
Figure CN104573881BD00159
:,由 此得到tk时刻剩余寿命的点估计RULk如下:
[0130]
Figure CN104573881BD001510
[0131] 在以上的退化建模和剩余寿命预测过程中,模型参数是未知 的,现有的剩余寿命预测研究是通过多个同类设备的历史数据对这些参数估计,然而实际 中通常很难获得大量同类产品的历史退化数据。为解决这一问题,下一步骤主要讨论退化 模型未知参数的估计问题。
[0132] 4)基于EM算法的模型参数估计
[0133] 令
Figure CN104573881BD001511
表示模型未知参数。基于极大似然估计的方法,在tk 时刻的监测数据Lk得到后,计算关于Llik的对数似然函数:
[0134]
Figure CN104573881BD001512
[0135] 其中:
Figure CN104573881BD001513
> 表示退化数据Llik的联合密度函数。因此,的极大似然估计
Figure CN104573881BD001514
,可
Figure CN104573881BD001515
以通过由下式得到:
[0136]
Figure CN104573881BD00161
(12)
[0137] 然而在退化模型(2)中,参数M和β是随机的,因此难以采用式(12)直接优化得到
Figure CN104573881BD00162
。为此,本方法采用EM算法实现对Θ的估计。EM算法对Θ的估计可以通过迭代以下两步实 现:
[0138] I E-step:计算条件期望
[0139]
Figure CN104573881BD00163
(13)
[0140] 其中
Figure CN104573881BD00164
表示基于退化数据L1:k进行估计时第i次迭代的结果。
[0141] Π Μ-Step:最大化条件期望
[0142]
Figure CN104573881BD00165
(14)
[0143] 在以上两步的迭代过程中,通常在
Figure CN104573881BD00166
的差小于一个比较小的数时,终止 迭代,将最后一次估计的结果作为tk时刻最终的参数估计结果。下面利用上述EM算法对未 知参数Θ进行估计。
[0M4]为了表示估计的参数依赖于到当前时刻的所有退化监测数据,将基于到tk时刻的 所有退化监测数据L1:k估计的参数表示为
Figure CN104573881BD00167
[0145] 令EM算法中第i次迭代得到的估计为
Figure CN104573881BD00168
那 么完全对数似然函数可以表示为
Figure CN104573881BD00169
[0149] 令
Figure CN104573881BD00171
:可以得到第i+1步的参数估计
Figure CN104573881BD00172
为:
Figure CN104573881BD00173
[0155] 上述的参数估计方法是基于到tk时刻的所有退化监测数据L1:k对参数Θ估计的结 果。由于Llik对监测时刻的依赖关系,在任一监测时刻的数据得到后都可以采用上面的方法 进行参数估计。另外,M步只可以得到显示的最优解,因而易于计算。
[0156] 本发明运用Bayesian方法和EM算法实现对服役设备的退化建模和剩余寿命预测。 具体地,利用指数随机退化模型来建模设备的退化过程;基于退化监测数据运用Bayesian 方法更新模型的随机参数,进而得到剩余寿命的概率分布函数及点估计;基于设备到当前 时刻的监测数据,利用EM算法对模型中的非随机未知参数进行在线估计,使得模型参数和 剩余寿命分布都能随数据不断更新。本发明在服役设备剩余寿命预测的指数随机退化模型 构建方法中引进了基于EM算法的参数自适应更新机制,使得指数随机退化模型的所有参数 都随着服役设备实时数据的积累不断更新,因而预测的结果更能反映设备的实际运行情 况,达到减小预测不确定性的目的。与现有方法的最大不同之处在于,本发明不需要多个同 类设备历史数据来初始化退化模型,而是自适应地更新模型参数和剩余寿命分布。
[0157] 对于本领域技术人员而言,显然本发明不限于上述示范性实施例的细节,而且在 不背离本发明的精神或基本特征的情况下,能够以其他的具体形式实现本发明。因此,无论 从哪一点来看,均应将实施例看作是示范性的,而且是非限制性的,本发明的范围由所附权 利要求而不是上述说明限定,因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有 变化囊括在本发明内。
[0158] 此外,应当理解,虽然本说明书按照实施方式加以描述,但并非每个实施方式仅包 含一个独立的技术方案,说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见,本领域技术人员应当 将说明书作为一个整体,各实施例中的技术方案也可以经适当组合,形成本领域技术人员 可以理解的其他实施方式。

Claims (1)

1. 一种基于退化数据建模的服役设备剩余寿命自适应预测方法,其特征在于,运用 Bayesian方法和EM算法实现对服役设备的退化建模和剩余寿命预测,包括以下步骤: 1) 随机退化建模; 2) 基于Bayesian方法的模型随机参数更新; 3) 剩余寿命预测; 4) 基于EM算法的模型参数估计; 所述步骤1)具体为: 令S(t)表示t时刻的退化量,设备在离散时间监测点t^ts,...进行退化监测,在指数随 机退化模型下,设备在tk时刻的退化量为:
Figure CN104573881BC00021
其中Φ是固定常数;Θ和β是随机变量,用来描述设备间的个体差异;ε (tk)是服从正态分 布的随机误差项,且有
Figure CN104573881BC00022
对指数随机模型进行对数变换,得:
Figure CN104573881BC00023
假设随机参数Θ7和邱勺先验分布服从联合的二元正态分布,分别具有均值y/和m、方差
Figure CN104573881BC00024
且相关系数为Po; 所述步骤2)具体为: 基于步骤1)的模型和参数假设,运用Bayesian理论和服役设备退化的监测数据来对先 验分布中的参数进行更新,得到相应的后验分布;记Lk = L(tk),Li:k= {Li,···,!^};假设在 t,…,tk时刻有退化观测量L1,…,Lk,由于误差项Wt1),i = l,…,k是独立同分布的随机变 量,在给定Θ7和邱勺条件下,退化样本L1 :k的条件联合密度函数为:
Figure CN104573881BC00025
0) 由于Θ7和β的先验分布是二元正态分布,与样本分布f (L1 :k I Θ7,β)是共辄的,故Θ7和后关 于Llik的联合后验分布仍然是二元正态分布,S卩
Figure CN104573881BC00026
;因此, 有:
Figure CN104573881BC00027
上式对应的参数
Figure CN104573881BC00028
由下面命题给出; 命题1:给定到tk时刻的所有退化观测数据Llik= IL1,…,L1J,θ',β关于Ll:k的联合后验 分布服从二元正态分布,即:具体参数 表达式如下:
Figure CN104573881BC00031
Figure CN104573881BC00032
由于
Figure CN104573881BC00033
是二元正态分布的,根据二元 正态分布的性质,有如下推论成立; 命题2:令〜I L1 :k表示条件随机变量,E (〜L1 :k)表示条件期望,则:
Figure CN104573881BC00034
所述步骤3)具体为: 在得到θ'和β的后验估计后,对于给定的失效阈值ω,要实现剩余寿命的预测,首先要 基于到当前时刻tk的退化观测数据L1:k预测t+tk时的退化量;对于将来时刻t+tk的退化量L (t+tk),在给定L1:k的条件下,有以下命题成立; 命题3:给定到tk时刻的所有退化观测数据L1:k,预测的t+tk时刻对应的退化量L(t+tk) 服从正态分布,且具有的均值和方差分别为:
Figure CN104573881BC00041
根据以上结果,设T为设备在tk时刻的剩余寿命,S卩T满足L(t+tk) =1ηω ;于是,在给定 L1: k的条件下,预测的剩余寿命的条件概率分布函数
Figure CN104573881BC00042
为:
Figure CN104573881BC00043
其中Z服从标准正态分布,Φ (·)为标准正态随机变量的累积分布函数,且有
Figure CN104573881BC00044
由于limt—~g (t) =-yfs,k/〇fs,k,所以T的值域为(_°°,°°);考虑到T表示设备的寿命是非 负的实数,将在(〇, 0)上截断的累积分布函数作为设备的剩余寿命预测结果,如下式:
Figure CN104573881BC00045
基于以上的结果,剩余寿命预测的条件概率密度函数为:
Figure CN104573881BC00046
其中Φ (·)为标准正态随机变量的概率密度函数; 通过上面的建模过程,在获得新的退化测量数据后,根据命题1重新计算随机参数Θ'和 β的后验分布,由此获得
Figure CN104573881BC00047
,的新估计;然后,根据这些更新的参数, 通过更新函数g (t)中
Figure CN104573881BC00048
的值实现对预测的剩余寿命分布的更新; 所述步骤4)具体为: 在以上的退化建模和剩余寿命预测过程中,模型参数
Figure CN104573881BC00049
是未知的, 令
Figure CN104573881BC000410
表示模型未知参数;基于极大似然估计的方法,在tk时刻的监 测数据Lk得到后,计算关于Llik的对数似然函数:
Figure CN104573881BC000411
Cl!) 其中:
Figure CN104573881BC000412
I表示退化数据L1:k的联合密度函数;Θ的极大似然估计
Figure CN104573881BC000413
由下式得到:
Figure CN104573881BC000414
(12) 在退化模型⑵中,参数Θ7和β是随机的,采用EM算法实现对Θ的估计;EM算法对Θ的估 计通过迭代以下两步实现: I E-step:计算条件期望
Figure CN104573881BC000415
(13) 其中
Figure CN104573881BC000416
表示基于退化数据L1:k进行估计时第i次迭代的结果; Π M-Step:最大化条件期望
Figure CN104573881BC00051
(14) 为了表示估计的参数依赖于到当前时刻的所有退化监测数据,将基于到tk时刻的所有 退化监测数据Llik估计的参数表示为
Figure CN104573881BC00052
Figure CN104573881BC00053
令EM算法中第i次迭代得到的估计为 完 ? 全对数似然函数为
Figure CN104573881BC00054
基于式(13),得到.
Figure CN104573881BC00055
;如下:
Figure CN104573881BC00056
Figure CN104573881BC00057
得到第i+Ι步的参数估计
Figure CN104573881BC00058
为:
Figure CN104573881BC00061
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