CN103300859A - 一种混合范数的高质量快速cs-mri成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种新的基于混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法。主要解决当前MRI成像质量不高，速度较慢的问题。本发明方法首先获取MR的K-space数据，通过构造降采样模式对K-space数据进行降采样，其次在压缩约束条件下设计混合范数优化目标，最后求解该混合范数问题，将目标进行空间域转换，获得重构后的MR图像。混合范数的设计思路是将传统的L1范数问题转化为混合范数LH新模式下的优化求解，该范数使得重构结果更接近于L0范数解，又能克服L0范数本身无法求解和L1范数求解精度不高的问题，通过压缩感知(CS：Compressed Sensing)的加速框架又能提高成像速度。本发明不但能加快MR成像速度，尤为重要的是可以获得较传统L1范数重构方法更高质量的MR图像。

Description

一种混合范数的高质量快速CS-MRI成像方法

技术领域

本发明属于核磁共振成像领域，涉及一种混合范数的高质量快速压缩感知核磁共振成像方法。

背景技术

磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，MRI)是一种利用核磁共振原理进行人体断层成像的技术。它可以提供人体软组织的各种图像，其所显示的解剖结构逼真，能够在清晰的解剖影像背景上明确显示出病变影像。MRI已经被广泛应用于医学临床诊断，成为重要的疾病诊断手段之一。因此，快速、准确地实现MR(Magnetic Resonance，MR)成像对临床应用具有重要的理论与现实意义。

压缩感知(Compressed Sensing，CS)理论具备显著减少MRI成像时间的潜能。该论断已被Lustig和Donoho等人论证，他们根据CS理论应用条件，结合磁共振成像原理，深入分析了CS理论用于MRI快速成像的可行性，并通过实例验证了CS在MRI上的发展潜力。将CS和MRI结合，我们简称CS-MRI。

在CS-MRI中，成像问题的本质是通过采样后的L0范数优化重构的。然而，在压缩感知恢复模型

s.t.Φx＝y中(式中Φ是M×N的观测矩阵，M＜＜N，K为稀疏信号x的稀疏度)，因观测维数M远远小于信号维数N，所以要解上式，需要穷举x中所有可能的 $\left(\begin{array}{c}N\\ K\end{array}\right)$ 个非零项组合，这是一个NP-hard的非凸优化问题，很难直接求解。为了求解上述优化问题，学者Candes和Donoho提出用L1范数来凸化压缩感知恢复框架的思想，即将非凸优化目标函数||x||₀用凸函数||x||₁来代替，将非凸问题转化成凸问题，这个在Michael Lustig和Donoho共同发表的文章“Sparse MRI：The application of compressed sensing forrapid MR imaging”中已经提到。这种应用L1范数近似方法的缺陷是在求解中无法得到最准确的MR图像，因此，如何获得更精确的MR图像是CS-MRI需要解决的重要问题。

本发明针对L1范数求解的精度问题，提出一种混合范数的高质量快速CS-MRI成像方法，该方法能得到较高的MR成像速度和成像质量，解决L0范数难于求解的问题。经验证：这种方法获得的MR图像质量优于L1范数方法，同时它的加速能力强于L1方法，提高成像速度。

发明内容

针对现有CS-MRI技术的不足，从目标重建的角度出发，本发明提出一种新的混合范数的高质量快速CS-MRI图像重建方法来对MR的CS采样数据进行高质量复原。

本发明包括四个步骤：K-space数据降采样、数据压缩、混合范数LH最小化的MR目标构造、重构求解。

1.K-space数据降采样包括采样数据准备、采样轨迹设计、采样率确定、采样四个步骤：

1.1采样数据准备是根据临床应用，对被采集对象通过MRI设备生成K-space数据，这个由具体型号的设备参数和被采集对象决定。

1.2采样轨迹设计是进行压缩采集前的采样设计，采用一种降采样模式，该采样是频域变密度形式，保证采集到足够多低频信息，而且能较好的滤除高频信息。其特点是：(1)中心区域密集，外围区域稀疏；(2)具有高的采样效率；(3)采样目标较完整，有利于MR复原。

1.3采样率确定是保证采样信息完整性的决定因素，主要根据目标的稀疏性，确定一定比率的采样率，该过程是一种压缩式的欠采样。

1.4采样是将采样数据在采样模式和采样率的限定条件下进行的采样运算，采样结果为欠采样数据。

2.数据压缩是将全采样数据通过压缩降采样和信号处理过程转换到新的压缩空间，该步骤的执行结果为压缩后的新数据，它的规模远小于全采样数据，其数据量取决于采样率和采样模式。

3.混合范数LH最小化的MR目标构造是在混合范数LH架构下对压缩数据建立带约束的非线性目标优化问题，目标为求解对象的混合范数最小，约束为降采样的MR图像与全采样图像质量保持高度一致。

4.目标求解是用优化方法求解步骤3的带约束的非线性目标优化问题，确保迭代的收敛性和快速性。

A.混合范数模型

在CS-MRI重建中，L1范数最小化是求解非线性凸优化问题，它能确保重构解的稳定性，但得到的解不是最优解。L0范数解才是我们要求的理想最优解，然而L0范数问题是NP-hard问题，很难直接求解。所以，如何确保解的准确性和收敛性是重构面临的重要问题。而本内容提出的混合范数既能保证足够的求解精度，又能得到较好的收敛性。

假如x是待重构的稀疏信号，测量矩阵为Φ，混合范数问题可以描述为：

$\underset{x}{\min }{\left|\right|x\left|\right|}_{H}s.t.\mathrm{\Φx}=y---\left(1\right)$

${\left|\right|x\left|\right|}_H=\underset{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}f\left(x\right)---\left(2\right)$

$f\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}a\left|u\right|/\mathrm{\&tau;},& \left|u\right|<\mathrm{\&tau;}\\ \frac{\left|\right|u|-b|}{\left|\right|u|-b|+\mathrm{\&epsiv;}},& \left|u\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&tau;}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中||·||_H为混合范数操作符，a，b，ε均为常量，它们能确保函数f具有光滑连续性和可微性。参数τ是混合阈值，满足0＜τ＜1，函数f与参数τ相关。从函数描述关系我们可以看出：对任意给定的常数ε和τ，混合范数函数由两部分组成。第一部分是线性部分，第二部分是非线性部分，由于参数a和b的引入，使得混合函数在参数选择上具有光滑连续性和可微性。

B.基于混合范数的CS-MRI重构

对MRI重构问题，通常考察对象为MR图像的变差(Total Variation，TV)。实质上，L1范数的优化目标为MR图像的TV问题，它是利用L1范数的凸优化问题重构MRI图像，也就是说，TV最小化是一个凸优化问题，它能获得全局解，问题是获得的解往往不是MR成像最优解。我们提出的混合范数下的混合变差(Hybrid Total Variation，HTV)是求解最优解的一种思路，同时在求解过程中能得到收敛解。

设待重构的MRI图像为x，则混合范数变差HTV最优问题描述为：

$\underset{x}{\min }\mathrm{HTV}\left(x\right)s.t.\mathrm{\&Phi;x}=y---\left(4\right)$

其中Φ是降采样编码阵，y是降采样观测，HTV定义为：

$\mathrm{HTV}\left(x\right)={\left|\right|\mathrm{\&Psi;x}\left|\right|}_H=\underset{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&Sigma;}}f\left(\mathrm{\&Psi;x}\right)---\left(5\right)$

这里Ψ是2-D离散梯度算子，为Ψ＝[D_x  D_y]^T，函数f为混合函数。HTV是一个图像梯度的混合算子，它不需要考虑图像的特性就能获得图像的稀疏描述。

混合范数最小化的求解可以转换成一个无约束的最小化问题：

$\hat{x}=\underset{x}{\arg \min }\{\mathrm{HTV}\left(x\right)+\frac{1}{2}\mathrm{\&lambda;}{\left|\right|\mathrm{\&Phi;x}-y\left|\right|}_2^2\}---\left(6\right)$

这里HTV(·)是混合范数变差。在2-D离散变换Ψ下可以获得x的微分。||·||₂是L2范数，定义为λ是一个非负调制参数。对方程(6)的大括号内容可以转化为：

$L(x,\mathrm{\&lambda;})=\&dtri;\left(\mathrm{HTV}\left(x\right)\right)+\mathrm{\&lambda;}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\mathrm{\&Phi;x}-{\mathrm{\&lambda;\&Phi;}}^{*}y---\left(7\right)$

算符

是梯度算子。令L(x)＝0可以求解重构MR图像。

附图说明

图1是本发明的流程框图；

图2是全采样Shepp-logan phantom图像；

图3是采样模式，该模式为辐射状；

图4是L1范数方法重构的Shepp-logan phantom图像；

图5是本发明的混合范数方法LH重构的Shepp-logan phantom图像；

图6是L1方法和本发明的混合范数方法LH对Shepp-logan phantom图像的重构误差曲线。

具体实施方式

参照图1，本发明的具体实施步骤包括：

步骤1.获取MR的K-space扫描数据。

MRI采集设备获取的数据为K-space空间数据，该扫描数据是全采样模式下的K-space数据，取决于采集仪的扫描工作方式。

步骤2.建立采样矩阵，将得到的数据进行降采样处理。

在本发明中，采样模式可以有多种形式，具体反映在混合优化中就是矩阵Φ的构造。采样过程是用Φ矩阵与全采样数据运算，即Φx＝y，得到y的观测量。

步骤3.应用混合范数优化迭代求解MR重构。

混合范数优化求解应用以下过程，设方程(6)的大括号内容为

$E(x,\mathrm{\&lambda;})=\mathrm{HTV}\left(x\right)+\frac{1}{2}\mathrm{\&lambda;}{\left|\right|\mathrm{\&Phi;x}-y\left|\right|}_2^2=\underset{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&Sigma;}}f\left(\mathrm{\&Psi;x}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{\&lambda;}{\left|\right|\mathrm{\&Phi;x}-y\left|\right|}_2^2---\left(8\right)$

根据欧拉-拉格朗日方程有：

$L(x,\mathrm{\&lambda;})=\frac{\&PartialD;E}{\&PartialD;x}=\frac{\&PartialD;\mathrm{HTV}\left(x\right)}{\&PartialD;x}={\mathrm{\&Psi;}}^{*}\mathrm{\&Lambda;}\left(x\right)\mathrm{\&Psi;x}+{\mathrm{\&lambda;\&Phi;}}^{*}\mathrm{\&Phi;x}-{\mathrm{\&lambda;\&Phi;}}^{*}y=0---\left(9\right)$

其中Ψ是二维梯度算子，Ψ＝[D_x  D_y]^T，Λ(x)是对角阵

f′(x)＝sgn(x)，在执行过程中，为了保证Λ(x)有意义，令

α是一个很小的常量。

根据方程(9)，有：

(Ψ^*Λ(x)Ψ+λΦ^*Φ)x＝λΦ^*y                      (10)

令H(x)＝Ψ^*Λ(x)Ψ+λΦ^*Φ，它实质是方程(8)中E的Hessian阵，则按照定点迭代有：

x^J+1＝H^-1(x^J)λΦ^*y                                        (11)

方程(9)转换为

L(x^J，λ)＝Ψ^*Λ(x^J)Ψx^J+λΦ^*Φx^J-λΦ^*y＝H(x^J)x^J-λΦ^*y    (12)

于是

λΦ^*y＝H(x^J)x^J-L(x^J，λ)                                 (13)

将方程(13)带入方程(11)，有：

x^J+1＝x^J-H(x^J)^-1L(x^J，λ)                                   (14)

令Δ^J＝-H(x^J)^-1L(x^J，λ)，则迭代求解过程变成：

x^J+1＝x^J+Δ^J                                               (15)

步骤4.将MR的K-space数据变换到图像域空间，得到MR图像。

重构的K-space数据是一个频域空间，应用Fourier逆变换将其转化到图像域，实现方法为：X＝IFFT(x)，其中IFFT为Fourier逆变换操作。

本发明的效果可以通过以下实验进一步说明：

1.仿真条件：

在CPU为Pentium E54002.7GHz，内存2G，Windows7的32位操作系统上使用Matlab2011b上进行了仿真，图2为标准的全采样MR图像，名称为Shepp-logan phantom，图3为辐射状采样模式，图4为L1方法获得的MR图像重构结果，图5为本发明的LH获得的MR重构结果，图6为L1方法和LH方法的重构图像误差曲线。

2.仿真内容：

对图2的全采样MR图像，采用图3的采样矩阵，该采样矩阵为放射状模式，放射线数决定采样率，图2为10条射线的采样模式。

从图4可以看出，L1方法重构结果有明显的偏差，在有效的边界和内部存在有块状模糊效应。而本发明的LH方法获得的重构图像非常清晰，基本达到了和图2的标准MR图像一致的结果。图6的误差曲线也说明了随着采样线数的增加，重构效果越来越好，L1方法在大于14条线的采样下基本能完全恢复原始图像，而本发明的LH方法在大于等于10条采样线的条件下就能完全重构图像。该结果说明了在同样的重构质量下，LH方法较L1方法需要的采样率更少，采样的运算时间消耗更小，即LH的加速性能优于L1方法。综合这两方面的性能，LH方法较L1方法既获得了高质量的图像又具有更好的加速能力。

3.仿真结果：

本发明的重构效果度量采用主观和量化评价方式，图像视觉效果反映了人的主观感知，量化评价利用重构图像与全采样图像的误差作为度量标准，误差越小，重构效果越好。从实验结果(图4、5的图像视觉效果和图6的误差曲线)看出，本发明的混合范数方法在重构质量和成像速度方面都优于传统的L1方法。

Claims (8)

1.一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于该方法包括如下步骤： 

(1)数据准备：采集MR数据 

(2)压缩采样：构造降采样模式，对K-space数据进行压缩降采样 

(3)重构：设计混合范数优化目标，并给出约束条件 

(4)求解：求解混合范数问题，获得重构MR。 

2.根据权利要求1所述的一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于： 

MRI设备获取的MR数据为K-space数据，它是一种变密度的频域数据，在该域中表现出一定的稀疏性。 

3.根据权利要求1所述的一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于： 

压缩采样采用降采样模式，目的是加快采样速度，提高成像速度。通过设计采样模式，在该采样模式下获取采样数据，为混合范数优化做准备。 

4.根据权利要求1所述的一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于： 

重构是一个在既定采样条件下的非线性约束优化问题，该非线性优化采用混合范数近似L0范数最小化。 

5.根据权利要求1所述的一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于： 

求解是采用优化求解方法迭代得出最优解，然后将K-space空间数据转换到图像域，获得最后的MR图像。 

6.根据权利要求3所述的一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于： 

采样模式有random mask、radial mask、spiral mask等，这些采样模式是基于MRI设备的sequence设计而来的，在该采样模式下，对K-space数据进行采样，得到降采样数据。 

7.根据权利要求4所述的一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于： 

混合范数是一种新的范数模式，既具有L1范数的全局性，又具有L0范数的准确性。它的目标是寻找混合范数最优解，同时满足采样约束条件。 

8.根据权利要求5所述的一种混合范数的高质量CS-MRI图像重建方法，其特征在于： 

优化采用定点迭代优化，满足误差要求的迭代终止条件。 

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