CN102163844A - 基于相量测量装置的电力系统状态检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于相量测量装置的电力系统状态检测方法，它可实现电力系统稳态分析的连续性，充分利用相量测量装置高精度、低采样周期的海量数据，得到状态量特征曲线并能确定系统状态。本发明根据实时量测信息分析电力系统运行工况，进行状态时间划分；对相量测量装置测量的海量数据采用综合滤波方式，辨识、剔除PMU数据中的不良数据；用曲线拟合的方法建立测量数据的状态方程，利用泰勒级数法建立实时状态的状态估计求解方法，构造新的电压特征曲线求解方法，进而确定系统状态，为电力系统能量管理系统提供更加准确的状态信息，提高整个电力系统在线分析的准确性。

Description

基于相量测量装置的电力系统状态检测方法

技术领域

本发明涉及电力系统状态估计技术，具体涉及一种基于相量测量装置的电力系统状态检测方法。

背景技术

随着特高压、智能电网的逐步建设，电网将面临更多的挑战，系统的安全性和在线监控的重要性越显突出。基于相量测量装置(PMU)的广域测量系统，可以直接观测电力系统的相角，从而实现了电力系统状态(电压相量)的直接可观测能力。目前全国各网省电力公司均在逐步建设广域测量系统，并得到了学术界广泛的重视和深入研究。

电力系统状态检测是能量管理系统的重要组成部分。而相量测量单元可为电力系统提供准确、高精度的相角信息，若能充分利用PMU量测，可改善电力系统状态估计的估计精度、提高运算速度，为后续高级应用软件提供准确、实时的电网数据。

但目前的状态检测方法仅仅利用某个或某几个的时间断面的电网数据，利用数值分析的方法对电力系统进行运算，得到反映系统真实运行状况的状态量(电力系统电压相量)，无法实现对稳态电力系统的连续性分析。另外，PMU测量的电压、电流相量虽然精度较高，但仍然存在一定的误差，在目前的技术水平下直接利用其数据仍然可能影响分析结果；在PMU大量建设、普及以后，测得的海量数据便会受制于现有状态检测方法的计算速度、利用时间断面数据的有限性的约束。因此，研究一种状态检测方法，既可以充分利用海量的PMU测量数据，又可以保证计算速度的快速性具有很重要的现实意义。

发明内容

本发明的目的在于解决上述问题，提供一种基于相量测量装置的电力系统状态检测方法，它可实现电力系统稳态分析的连续性，充分利用相量测量装置高精度、低采样周期的海量数据，得到状态量特征曲线并能确定系统状态，完善电力系统能量管理系统的功能，能量管理系统后续高级系统分析提供准确、连续的系统状态信息，同时也为电网网损分析提供更加准确的信息。

本发明的目的是这样实现的：

一种基于相量测量装置的电力系统状态检测方法，它根据实时量测信息分析电力系统运行工况，进行状态时间划分；对各时间段内相量测量装置测量的海量数据采用综合滤波方式，辨识、剔除PMU数据中的不良数据；用曲线拟合的方法建立测量数据的状态方程，利用泰勒级数法建立实时状态的状态估计求解方法，构造新的电压特征曲线求解方法，进而确定系统状态。

所述状态时间划分过程为：首先，根据电力系统运行的实际情况设定一段时间为一个状态时间；接下来再根据测量数据判断电力系统是否发生拓扑变化、突然的负荷变化以及PMU数据丢失情况进行过程的细分，如果在这段设定时间过程内系统没有发生这些不良情况，则认为是一个状态时间；如果有在这段时间过程内有任何一种或者同时的不良情况的发生，则以发生不良情况的时刻为分界线分为两个状态时间分别处理。

综合滤波同时采用预报网络过滤法和残差网络函数过滤法两种方法：

1)预报网络过滤法

在确定电压特征曲线方程后，利用其求取下一段时间内电压的预测值，即

${\tilde{U}}_a\left(t\right)=e_0+e\widetilde{t_1}+e{\tilde{t}}_2^2+.....+e_n{\tilde{t}}^n$

${\tilde{U}}_b\left(t\right)=f_0+f_1\tilde{t}+f_2{\tilde{t}}^2+.....+f_n{\tilde{t}}^n$

$\widetilde{\stackrel{.}{U}}\left(t\right)={\tilde{U}}_a\left(t\right)+j{\tilde{U}}_b\left(t\right)$

其中e₀-e_n，f₀-f_n分别为常数化的系数，

为预估电压，

分别为的实部、虚部。

得到电压预测值后，求取测量值的预估值

公式如下：

$\tilde{Z}\left(t\right)=h\left[\widetilde{\stackrel{.}{U}}\left(t\right)\right]$

其中

为测量预估值的测量函数。

将某时刻间段的测量值与预报值作差，即可得到新息轨迹函数δ(t)，即

$\mathrm{\δ}\left(t\right)=Z\left(t\right)-\tilde{Z}\left(t\right)$

其中Z(t)为某时刻间段的测量值，t为时间。

新息轨迹函数是一个数值很小的函数值，若某时间断面的某测量值对应的新息轨迹函数值很大，则说明此测量为坏数据，则应将此测量滤除；

2)残差网络过滤法

在确定电压特征曲线方程后，计算出残差网络函数ξ(t)：

$\mathrm{\ξ}\left(t\right)=Z\left(t\right)-h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]$

其中

为某时段测量值的测量函数，Z(t)为某时刻间段的测量值。

残差网络函数也是一个数值很小的函数值，若某测量值对应的残差网络函数值很大，则说明此测量为坏数据，则应将此测量滤除。

所述电压特征曲线的建立方法为：根据PMU的实时量测信息，利用曲线拟合的方法确定各测量量的时间函数，用下式表示：

I_ma＝a₀+a₁t+a₂t²+.....+a_ntⁿ

I_mb＝b₀+b₁t+b₂t²+.....+b_ntⁿ

U_ma＝c₀+c₁t+c₂t²+.....+c_ntⁿ

U_mb＝d₀+d₁t+d₂t²+.....+d_ntⁿ

I_ma、I_mb分别为经转化后的支路电流实部、虚部测量，U_ma、U_mb分别为经转化后的节点电压实部、虚部测量；t为时间，a₀～a_n，b₀～b_n，c₀～c_n，d₀～d_n为常数化的系数。

对电力系统而言，系统测量函数Z(t)为：

$Z\left(t\right)=h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]+\mathrm{\ξ}$

其中为测量值的测量函数，ξ为误差矩阵。

对系统测量函数公式两边求导数可得：

$Z^{\left(1\right)}\left(t\right)=H\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{\left(1\right)}\left(t\right)$

其中

为雅克比矩阵，

为电压特征曲线，

为

的一阶导数；

对上式求时间t的m阶导数，由二项式定理可知：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{m-1}^j{H}^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{(m-j)}\left(t\right)$

其中

为二项式系数，

为雅克比矩阵

的j阶导数，

为

的m-j阶导数；

由根据上式整理可得测量数据的二项式导数方程：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)-\underset{j=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{m-1}^j{H}^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{(m-j)}\left(t\right)=H\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

其中为二项式系数，

为雅克比矩阵的j阶导数，

为

的m-j阶导数，

为

的m阶导数；

又由于PMU测量的支路电流、节点电压测量与状态量之间均为线性关系，即系统测量函数可写为：

$Z\left(t\right)=h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]=H\·\stackrel{.}{U}\left(t\right)+\mathrm{\ξ}$

其中，

为常数化的雅克比矩阵，ξ为误差矩阵；

所以有：

$H^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]=O,$ j≥1

其中O为零矩阵；

故测量数据的二项式导数方程可进一步写为：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)=H\·{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

因常数的雅克比矩阵H不是方阵，无法直接求逆，对上式两边同乘以H^TR^-1：

$H^T{R}^{-1}H{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)=H^T{R}^{-1}{Z}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

其中H^T为雅克比矩阵H的转置矩阵，R^-1为权系数矩阵。

由上式可计算出电压特征曲线的各阶导数，如下式所示：

${\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)={\left(H^T{R}^{-1}H\right)}^{-1}{H}^T{R}^{-1}{Z}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

其中

为

的m阶导数。

进一步确定电压特征曲线的表达式：

U_a(t)＝e₀+e₁t+e₂t²+.....+e_ntⁿ

U_b(t)＝f₀+f₁t+f₂t²+.....+f_ntⁿ。

本发明的有益效果是：

1)基于相量测量装置的状态估计新算法具有计算速度快的特点。

2)该方法实现了对PMU海量数据的充分利用。

3)该方法实现了电力系统稳态分析的连续性分析。

4)该方法可用于电力系统自动化在线应用当中，可用于网损计算、分析预测等众多领域。

附图说明

图1为本发明的流程图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明做进一步说明。

图1中本发明根据实时量测信息分析电力系统运行工况，进行状态时间划分，采用综合滤波技术，针对相量测量装置测量的海量数据的展开数据挖掘，辨识、剔除PMU数据中的不良数据，用曲线拟合的方法建立测量数据的状态方程，利用泰勒级数法建立实时电力系统状态估计新方法，构造新的电压特征曲线求解方法，进而确定系统状态的状态估计新方法。

1.所述的状态时间的划分：

基于电力系统的稳态分析，应首先确定某一运行时段内电力系统运行波动不大，可以看成是一个稳态的运行过程。最简单的方法是人为地设置一段时间即为一个过程，针对这个过程的所有测量数据进行状态的提取。然而这种确定过程的方法是粗糙的，不细致的，因而本专利根据电力系统运行的特点，给出一种更为精细的电力系统运行过程的划分方法。

一般情况下，当电力系统有拓扑结构的变化或者大的负荷的突然变化等不良情况发生时，电网的状态会发生比较大的改变，所以可以认为这一时刻是两个过程的分界点。另外，由于数据传输问题，当PMU有数据丢失情况发生时，也会影响不方法的计算结果，所以当此种情况发生时也将其分为两个状态。

因而，电力系统的状态时间可以这样划分：首先，可以根据电力系统运行的实际情况认为一段时间为一个状态时间；接下来再根据测量数据判断电力系统是否发生拓扑变化、突然的负荷变化以及PMU数据丢失等情况进行过程的细分，如果在这段时间过程内系统没有发生这些不良情况，则认为是一个状态时间，如果有在这段时间过程内有任何一种或者同时的不良情况的发生，则以发生不良情况的时刻为分界线分为两个状态时间分别处理。

2.PMU测量中不良数据的处理方法

本专利采用一种新型综合滤波技术，辨识PMU数据中的不良数据，保证本状态估计算法计算结果的正确性。该滤波技术采用预报网络过滤法和估计过滤法两种方法组成。

1)预报网络过滤法

在求的电压特征曲线方程后，可利用其求取下一段时间内电压的预测值。即

$\tilde{t}=t+\mathrm{\Δt}$

${\tilde{U}}_a\left(t\right)=e_0+e\widetilde{t_1}+e{\tilde{t}}_2^2+.....+e_n{\tilde{t}}^n$

${\tilde{U}}_b\left(t\right)=f_0+f_1\tilde{t}+f_2{\tilde{t}}^2+.....+f_n{\tilde{t}}^n$

$\widetilde{\stackrel{.}{U}}\left(t\right)={\tilde{U}}_a\left(t\right)+j{\tilde{U}}_b\left(t\right)$

e₀～e_n，f₀～f_n分别为常数化的系数，

为预估电压，

分别为

的实部、虚部。

得到电压预测值后，可求取测量值的预估值

公式如下：

$\tilde{Z}\left(t\right)=h\left[\widetilde{\stackrel{.}{U}}\left(t\right)\right]$

其中

为测量函数。

将某时刻间段的测量值与预报值作差，即可得到新息轨迹函数δ(t)，即

$\mathrm{\δ}\left(t\right)=Z\left(t\right)-\tilde{Z}\left(t\right)$

其中Z(t)为测量值。

新息轨迹函数是一个数值很小的函数值，若某时间断面的某测量值对应的新息轨迹函数值很大，则说明此测量为坏数据，则应将此测量滤除。

2)残差网络过滤法

在求的电压特征曲线方程后，则可计算出残差网络函数ξ(t)：

$\mathrm{\ξ}\left(t\right)=Z\left(t\right)-h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]$

其中Z(t)为测量值，

为测量函数方程。

残差网络函数也是一个数值很小的函数值，若某测量值对应的残差网络函数值很大，则说明此测量为坏数据，则应将此测量滤除。

本专利采用预报网络过滤法和残差网络函数过滤法两种方法共同滤波，保证测量的正确性。

3.所述的特征电压曲线

电力网络节点电压是电力系统稳态分析的一个非常重要的状态变量。并且电力系统运行中节点负荷变化、拓扑结构的变化对整个电网的运行状态的影响往往很大。本文首先根据PMU的实时量测信息，利用曲线拟合的方法确定各测量量的时间函数，用下式表示：

I_ma＝a₀+a₁t+a₂t²+.....+a_ntⁿ

I_mb＝b₀+b₁t+b₂t²+.....+b_ntⁿ

U_ma＝c₀+c₁t+c₂t²+.....+c_ntⁿ

U_mb＝d₀+d₁t+d₂t²+.....+d_ntⁿ

I_ma、I_mb分别为经转化后的支路电流实部、虚部测量，U_ma、U_mb分别为经转化后的母线电压实部、虚部测量。t为时间，a₀～a_n，b₀～b_n，c₀～c_n，d₀～d_n为常数化的系数。

对电力系统而言，系统测量函数为：

$Z\left(t\right)=h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]+\mathrm{\ξ}$

为电压特征曲线，

为测量函数方程；

对系统测量函数公式两边求导数可得：

$Z^{\left(1\right)}\left(t\right)=H\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{\left(1\right)}\left(t\right)$

其中为雅克比矩阵，

为状态量电压的一阶导数。对上式求时间t的m阶导数，由二项式定理可知：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)-\underset{j=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{m-1}^j{H}^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{(m-j)}\left(t\right)$

其中

为二项式系数，为雅克比矩阵

的j阶导数，

为

的m-j阶导数；

由根据上式整理可得测量数据的二项式导数方程：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)-\underset{j=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{m-1}^j{H}^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{(m-j)}\left(t\right)=H\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

其中为二项式系数，

为雅克比矩阵

的j阶导数，

为的m-j阶导数，为

的m阶导数；

又由于PMU测量的支路电流、节点电压测量与状态量之间均为线性关系，即系统测量函数可写为：

$Z\left(t\right)=h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]=H\·\stackrel{.}{U}\left(t\right)+\mathrm{\ξ}$

其中，为常数化的雅克比矩阵，ξ为随机误差。

所以有：

$H^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]=O,$ j≥1

其中O为零矩阵，

为雅克比矩阵

的j阶导数。

故测量数据的二项式导数方程可进一步写为：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)=H\·{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

为状态量的m阶导数。

因常数的雅克比矩阵H不是方阵，无法直接求逆，对上式两边同乘以H^TR^-1：

$H^T{R}^{-1}H{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)=H^T{R}^{-1}{Z}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

R^-1为权系数矩阵，H^T为雅克比矩阵H的转置矩阵。

由上式可计算出电压特征曲线的各阶导数，如下式所示：

${\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)={\left(H^T{R}^{-1}H\right)}^{-1}{H}^T{R}^{-1}{Z}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

进一步确定电压特征曲线的表达式：

U_a(t)＝e₀+e₁t+e₂t²+.....+e_ntⁿ

U_b(t)＝f₀+f₁t+f₂t²+.....+f_ntⁿ

4.电压特征曲线表达式中各系数的求取方法

根据泰勒公式，电压的特征曲线应满足下式：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_a\left(t\right)=U_{a0}+\frac{\∂U_a}{\∂t}(t-t_0)+\frac{\frac{{\∂}^2{U}_a}{{\∂}^{2}t}}{2!}{(t-t_0)}^2+.....+\frac{\frac{{\∂}^n{U}_a}{{\∂}^{n}t}}{n!}{(t-t_0)}^n\\ U_b\left(t\right)=U_{b0}+\frac{\∂U_b}{\∂t}(t-t_0)+\frac{\frac{{\∂}^2{U}_b}{{\∂}^{2}t}}{2!}{(t-t_0)}^2+.....+\frac{\frac{{\∂}^n{U}_b}{{\∂}^{n}t}}{n!}{(t-t_0)}^n\end{array}\right.$

其中为U_a(t)对时间t的1阶、2阶....n阶导数，

为U_b(t)对时间t的1阶、2阶....n阶导数。

取初始时刻t₀＝0，上式可简化为：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_a\left(t\right)=U_{a0}+\frac{\∂U_a}{\∂t}t+\frac{\frac{{\∂}^2{U}_a}{{\∂}^{2}t}}{2!}{t}^2+.....+\frac{\frac{{\∂}^n{U}_a}{{\∂}^{n}t}}{n!}{t}^n\\ U_b\left(t\right)=U_{b0}+\frac{\∂U_b}{\∂t}t+\frac{\frac{{\∂}^2{U}_b}{{\∂}^{2}t}}{2!}{t}^2+.....+\frac{\frac{{\∂}^n{U}_b}{{\∂}^{n}t}}{n!}{t}^n\end{array}\right.$

通过将上式与电压特征曲线的表达式比较可知：

$e_0=U_{a0},e_1=\frac{\∂U_a}{\∂t},e_2=\frac{\frac{{\∂}^2{U}_a}{{\∂}^{2}t}}{2!},....,e_n=\frac{\frac{{\∂}^n{U}_a}{{\∂}^{n}t}}{n!}$

$f_0=U_{b0},f_1=\frac{\∂U_b}{\∂b},f_2=\frac{\frac{{\∂}^2{U}_b}{{\∂}^{2}t}}{2!},....,f_n=\frac{\frac{{\∂}^n{U}_b}{{\∂}^{n}t}}{n!}$

Claims (4)

1.一种基于相量测量装置的电力系统状态检测方法，其特征是，它根据实时量测信息分析电力系统运行工况，进行状态时间划分；对各时间段内相量测量装置测量的海量数据采用综合滤波方式，辨识、剔除PMU数据中的不良数据；用曲线拟合的方法建立测量数据的状态方程，利用泰勒级数法建立实时状态的状态估计求解方法，构造新的电压特征曲线求解方法，进而确定系统状态。

2.如权利要求1所述的基于相量测量装置的电力系统状态检测方法，其特征是，所述状态时间划分过程为：首先，根据电力系统运行的实际情况设定一段时间为一个状态时间；接下来再根据测量数据判断电力系统是否发生拓扑变化、突然的负荷变化以及PMU数据丢失情况进行过程的细分，如果在这段设定时间过程内系统没有发生这些不良情况，则认为是一个状态时间；如果有在这段时间过程内有任何一种或者同时的不良情况的发生，则以发生不良情况的时刻为分界线分为两个状态时间分别处理。

3.如权利要求1所述的基于相量测量装置的电力系统状态检测方法，其特征是，综合滤波同时采用预报网络过滤法和残差网络函数过滤法两种方法：

1)预报网络过滤法

在确定电压特征曲线方程后，利用其求取下一段时间内电压的预测值，即

${\tilde{U}}_a\left(t\right)=e_0+e\widetilde{t_1}+e{\tilde{t}}_2^2+.....+e_n{\tilde{t}}^n$

${\tilde{U}}_b\left(t\right)=f_0+f_1\tilde{t}+f_2{\tilde{t}}^2+.....+f_n{\tilde{t}}^n$

$\widetilde{\stackrel{.}{U}}\left(t\right)={\tilde{U}}_a\left(t\right)+j{\tilde{U}}_b\left(t\right)$

其中e₀～e_n，f₀～f_n分别为常数化的系数，

为预估电压，

分别为

的实部、虚部；

得到电压预测值后，求取测量值的预估值

公式如下：

$\tilde{Z}\left(t\right)=h\left[\widetilde{\stackrel{.}{U}}\left(t\right)\right]$

其中

为测量预估值的测量函数，

为预估电压。

将某时刻间段的测量值与预报值作差，即可得到新息轨迹函数δ(t)，即

$\mathrm{\δ}\left(t\right)=Z\left(t\right)-\tilde{Z}\left(t\right)$

其中Z(t)为某时刻间段的测量值，

为测量值的预估值。

新息轨迹函数是一个数值很小的函数值，若某时间断面的某测量值对应的新息轨迹函数值很大，则说明此测量为坏数据，则应将此测量滤除；

2)残差网络过滤法

在确定电压特征曲线方程后，计算出残差网络函数ξ(t)：

$\mathrm{\ξ}\left(t\right)=Z\left(t\right)-h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]$

其中

为某时段测量值的测量函数，Z(t)为某时刻间段的测量值。

残差网络函数也是一个数值很小的函数值，若某测量值对应的残差网络函数值很大，则说明此测量为坏数据，则应将此测量滤除。

4.如权利要求1或3所述的基于相量测量装置的电力系统状态检测方法，其特征是，所述电压特征曲线的建立方法为：根据PMU的实时量测信息，利用曲线拟合的方法确定各测量量的时间函数，用下式表示：

I_ma＝a₀+a₁t+a₂t²+.....+a_ntⁿ

I_mb＝b₀+b₁t+b₂t²+.....+b_ntⁿ

U_ma＝c₀+c₁t+c₂t²+.....+c_ntⁿ

U_mb＝d₀+d₁t+d₂t²+.....+d_ntⁿ

I_ma、I_mb分别为经转化后的支路电流实部、虚部测量，U_ma、U_mb分别为经转化后的母线电压实部、虚部测量，t为时间，a₀～a_n，b₀～b_n，c₀～c_n，d₀～d_n为常数化的系数。

对电力系统而言，系统测量函数Z(t)为：

$Z\left(t\right)=h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]+\mathrm{\ξ}$

其中为测量值的测量函数，ξ为误差矩阵。

对系统测量函数公式两边求导数可得：

$Z^{\left(1\right)}\left(t\right)=H\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{\left(1\right)}\left(t\right)$

其中

为雅克比矩阵，

为电压特征曲线，为

的一阶导数

对上式求时间t的m阶导数，由二项式定理可知：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)-\underset{j=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{m-1}^j{H}^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{(m-j)}\left(t\right)$

其中

为二项式系数，

为雅克比矩阵

的j阶导数，为

的m-j阶导数；

由根据上式整理可得测量数据的二项式导数方程：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)-\underset{j=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{m-1}^j{H}^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{(m-j)}\left(t\right)=H\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

其中

为二项式系数，为雅克比矩阵

的j阶导数，为

的m阶导数

又由于PMU测量的支路电流、节点电压测量与状态量之间均为线性关系，即系统测量函数可写为：

$Z\left(t\right)=h\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]=H\·\stackrel{.}{U}\left(t\right)+\mathrm{\ξ}$

其中，为常数化的雅克比矩阵，ξ为误差矩阵；

所以有：

$H^{\left(j\right)}\left[\stackrel{.}{U}\left(t\right)\right]=O,$ j≥1

其中O为零矩阵；

故测量数据的二项式导数方程可进一步写为：

$Z^{\left(m\right)}\left(t\right)=H\·{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)$

因常数的雅克比矩阵H不是方阵，无法直接求逆，对上式两边同乘以H^TR^-1：

$H^T{R}^{-1}H{\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)=H^T{R}^{-1}{Z}^{\′\left(m\right)}\left(t\right)$

H^T为雅克比矩阵H的转置，R为权系数矩阵。

由上式可计算出电压特征曲线的各阶导数，如下式所示：

${\stackrel{.}{U}}^{\left(m\right)}\left(t\right)={\left(H^T{R}^{-1}H\right)}^{-1}{H}^T{R}^{-1}{Z}^{\′\left(m\right)}\left(t\right)$

进一步确定电压特征曲线的表达式：

U_a(t)＝e₀+e₁t+e₂t²+.....+e_ntⁿ

U_b(t)＝f₀+f₁t+f₂t²+.....+f_ntⁿ。

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