CN101710358A - 基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计 - Google Patents

Abstract

基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计，涉及到数学优化和薄膜光学两大领域。该方法首先将膜系设计中的膜层厚度解空间转换成蚁群算法中蚂蚁的路径空间，即离散成一系列标量值。并在各个可能的路径上分布上信息素。每一只蚂蚁的行经路径对应着一个光学薄膜膜系的输出。并将该输出膜系的评价函数做为这条路径上的信息素更新的依据，它将决定下一蚁群蚂蚁的路径选择。在经过若干个蚁群工作之后，再根据其最优蚂蚁输出的膜系厚度，进一步地缩小解空间，直至达到设计要求为止。由于蚁群算法十分适用于离散的组合优化问题，该方法将光学薄膜膜系厚度离散化后，使得该方法膜系设计实现成为可能。该方法在参数设置合理的前提下，可以直接应用于各种光学薄膜膜系设计中，并且能在较短的时间里得到优化结果。

Description

基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计

技术领域

本发明涉及智能计算和薄膜光学两大领域。主要涉及的是光学薄膜膜系的自动优化设计。

背景技术

薄膜光学是光学的一个重要分支。光学薄膜器件也广泛地应用于各种光学系统中。在很多时候，其设计好坏将直接影响到整个系统的性能。光学薄膜器件可以很出色地完成诸如增反、增透、滤光、分光以及起偏、消偏等光学处理，同时也可以为光学系统中的低色散以及低损耗做出贡献；

光学薄膜的设计一般分成规整与非规整两个方向。规整膜系一般有较为固定的折射率和光学厚度结构，故其设计简单，工艺实现也很简单，但是由于结构的相对固定，也造成了其光谱实现上的缺陷。它只能满足一些特定的光谱设计要求。非规整膜系的设计一般来说是部分固定或者完全不固定光学薄膜膜系结构，然后采取数学的方法对膜系得相关参数进行优化，并通过输出膜系的评价函数值判定收敛。现有的非规整膜系的设计方法有，遗传算法、退火算法以及针形等。

随着现代随机优化技术的不断发展，出现蚁群算法的这种高效的优化方法。它是根据蚂蚁搜索食物源的行为来求解最优化问题。将自然世界中的蚂蚁转化成人工蚂蚁，并将蚂蚁的释放信息素的生物行为与优化结果结合起来。蚁群算法具有正反馈性、并行性、强收敛性、以及鲁棒性等优点，已经成功地解决了诸如旅行商问题、二次分配问题等数学问题。该方法具有较强的全局搜索能力和寻优能力，同时也具有较好的收敛速度。因此，十分适合光学薄膜膜系设计的优化过程。

发明内容

本发明将蚁群算法运用到光学薄膜膜系的优化设计中，该方法的优点在于：

1、模型简单，易于编程；

2、可进行并行操作，提高优化效率；

3、有较快的收敛速度，对于膜层不多的膜系系统，相对其他的优化设计方法，可以在短时间内收敛得到很好的结果；

运用蚁群算法实现光学薄膜膜系优化设计的具体步骤包括：

1)将各膜层厚度在其解空间Ω_i内进行离散化，并将这一系列的离散值映射到基于蚁群算法实现光学薄膜膜系设计构造图中；每个离散的节点对应于膜层中一个光学厚度值。具体方式可以参照说明书附图1。图中坐标为(i，j)的节点表示，折射率为ni的第i层膜的光学厚度为nd(i，j)。nd(i，j)为待求光学薄膜膜系的第i层薄膜厚度解空间中的一个值。当前蚂蚁自第1层出发，通过一定几率选择第2层的某个节点，并以此类推，到达第N(待求膜系的层数设计值)层止。层数选择依顺序进行，并且每层只能选择一个节点；

2)设定基于蚁群算法实现光学薄膜膜系设计构造图中的每个节点的初始信息素矩阵P₀和P_ij。其中P₀为起始层的信息素分布。设起始层的节点数为m₁，则P₀为一长度是m₁的矩阵，其中每一个元素代表着到第一层中某个节点的路径上的信息素分配；P_ij表示说明书附图1中，第i行第j列的信息信息素分配。如果第i+1行的节点数位m_i+1，则P_ij为一长度是m_i+1的矩阵，其中每一个元素代表着到从该节点到下一层中某个节点的路径上的信息素分配。P_ij中的每个元素值分别对应于选择在当前节点上选择下一层膜各个节点路径上的信息素。i的取值范围为[1，N-1]，其中N为设定的膜层数；j的取值范围为[1，m_i]，m_i为第i层的节点数。在该步骤中，对上述的信息素矩阵进行初值设定，这些值将在后面的优化过程中发生改变并作为蚁群中的蚂蚁前进的依据。同时该步骤还要完成关于蚁群的一些参数的初值设定，这其中包括：收敛评价函数方差σ_min、收敛蚁群个数G_max、最大循环数G_max以及信息素蒸发系数α、信息素增量系数β、信息素增量衰减系数γ等；最后设置当前蚁群个数G＝1以及循环次数G_n＝1；

3)当前蚂蚁首先依据信息素矩阵P₀，按一定几率到达第一层的节点(1，j1)确定第1层膜的厚度，即nd(1，j1)；然后在于(1，j1)节点，依据信息素矩阵P_1j1，按一定几率到达第2层的节点(2，j2)，确定第二层膜的的厚度，即nd(2，j2)，依次类推，直至到达第N层为止，结束该只蚂蚁的行程。其中N为设计膜系的层数；

第一层第j个节点的选择几率区间为[min_1，j，max_1，j)。它们分别为：

${\min }_{1,j}=\left\{\begin{array}{cc}0& :j=1\\ \underset{x1=1}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{P_0\left(x1\right)}{\underset{x2=1}{\overset{m_{11}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_0\left(x2\right)}& :1<j\&le;m_1\end{array}\right.$

${\max }_{1,j}=\left\{\begin{array}{cc}\underset{x1=1}{\overset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{P_0\left(x1\right)}{\underset{x2=1}{\overset{m_{1_1}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_0\left(x2\right)}& :1\&le;j\&le;m_1\\ \&infin;& :j=m_1\end{array}\right.$

产生随机数rand1∈[0，1]，如果该随机数同时也满足rand1∈[min_1，j1，max_1，j1)，则第一行的j1节点被选择。同时输出该膜系第1行的光学厚度为nd(1，j1)。

则处于构造图中某个节点(i，ji)的蚂蚁到达下一层膜的第(i+1，j)节点的选择概率区间为[min_i+1，j，max_i+1，j)。它们分别为：

${\min }_{i+1,j}=\left\{\begin{array}{cc}0& :j=1\\ \underset{x1=1}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{P_{{\mathrm{ij}}_i}\left(x1\right)}{\underset{x2=1}{\overset{m_{1_{i+1}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{{\mathrm{ij}}_i}\left(x2\right)}& :1<j\&le;m_{i+1}\end{array}\right.$

${\max }_{i+1,j}=\left\{\begin{array}{cc}\underset{x1=1}{\overset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{P_{{\mathrm{ij}}_i}\left(x1\right)}{\underset{x2=1}{\overset{m_{1j+1}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{{\mathrm{ij}}_i}\left(x2\right)}& :1\&le;j<m_{i+1}\\ \&infin;& :j=m_{i+1}\end{array}\right.$

其中P_iji表示第i行，第ji列的节点信息素矩阵；产生随机数rand_i+1∈[0，1]，如果该随机数同时也满足 $\mathrm{rand}1\&Element;[{\min }_{i+1,j_{i+1}},{\max }_{i+1,j_{i+1}}),$ 则第i+1行的j_i+1节点被选择。同时输出该膜系第i+1行的光学厚度为nd(i+1，j+1)。

当蚂蚁从第一层走道第N层后，该只蚂蚁的行动结束。该只输出路径为：[(1，j1)，(2，j2)，......，(i，ji)，......(N，jN)]，则其输出膜系为：[nd(1，j1)，nd(2，j2)，……，nd(N，jN)]。

4)计算当前蚁群中k只蚂蚁的评价函数，一直蚂蚁的输出膜系的光学厚度分布为[nd(1，j1)，nd(2，j2)，……，nd(N，jN)]，其折射率分布为(n₁，n₂，……，n_N)，即可计算出在在波长λ处的膜系特征矩阵为：

$M=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\&delta;}}_i& j*\sin {\mathrm{\&delta;}}_i/{\mathrm{\&eta;}}_i\\ j*{\mathrm{\&eta;}}_i*\sin {\mathrm{\&delta;}}_i{\mathrm{\&delta;}}_i& \cos {\mathrm{\&delta;}}_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ n_g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right]$

其中，j为虚数单位； ${\mathrm{\&delta;}}_j=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{nd}}_i\cos {\mathrm{\&theta;}}_i,$ n_jd_j为第j层膜系的光学厚度；η_j为该层的光学导纳；

由此可得在该波长处的膜系反射率为：

$R\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\left(\frac{Y-n_0}{Y+n_0}\right){\left(\frac{Y-n_0}{Y+n_0}\right)}^{*}$

其中n₀为入射煤质折射率，膜系的组合导纳Y为：

$Y=\frac{B}{C}$

已知目标曲线的反射率为R₀(λ_t)，λ_t为需要讨论的第t个波长，则该输出膜系的评价函数由下面的公式确定：

$F_k={\left\{\underset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_t{\left[\right|R\left({\mathrm{\&lambda;}}_t\right)-R_0\left({\mathrm{\&lambda;}}_t\right)\left|\right]]}^p\right\}}^{\frac{1}{p}}$

其中ω_t为该波段在评价函数中所占的权重；p为评价函数的模数，为一正整数。

则该只蚂蚁第i层信息素更新体现在信息素矩阵P_i，ji上，该信息素矩阵第j个元素的更新增量

为：

$\mathrm{\&Delta;}{p}_{k_j}=\mathrm{\&alpha;}\&times;P_{{i,j}_i}\left(j\right)+\mathrm{\&beta;}\&times;e^{\mathrm{\&gamma;}\&times;|j-j_{i+1}|}\&times;\frac{1}{F_k}$

其中，α为蒸发系数，为负值；β为信息素增量系数，为正值，其大小由评价函数取值范围来进行调节；γ为远离选择节点的信息素增量衰减系数，为负值；式e^γ×|j-j1|中j1为第i+1层的选择节点，再P_i，ji中信息素增量随着远离j1呈指数衰减。这是为了避免局部极值的过早出现而设。

P_i，ji最终更新结果为：

P_i，j1＝P_i，j1+Δp_k

上述讨论中，i为区间[1，N-1]中的整数；第一膜层的选择有信息素矩阵P0确定，其增量和更新公式如下：

$\mathrm{\&Delta;}{p}_{0_j}=\mathrm{\&alpha;}\&times;P_0\left(j\right)+\mathrm{\&beta;}\&times;e^{\mathrm{\&gamma;}\&times;|j-j1|}\&times;\frac{A}{F_k}$

P₀＝P₀+Δp₀

其中γ为信息素衰减系数，仍为负值；

5)如果当前蚁群输出最优膜系的评价函数min(F_k)≤F_min，其中F_min为设定的收敛评价函数，则到步骤7)；否则，当前蚁群输出评价函数的方差σ_G≤σ_min，其中σ_min为设定的最小方差，或者当前计算的蚁群个数G＞G_n时，其中G_n为设定的蚁群数，则进入步骤6)，不然的话，令G＝G+1，并回到步骤3)；

其中，当前蚁群的评价函数方差由下面公式确定：

${\mathrm{\&sigma;}}_G=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(F_k-E\left(F\right))}^2$

其中E(F)为当前蚁群输出评价函数的平均值；

6)根据步骤5)输出的最优膜系光学厚度，对当前的厚度空间进行缩小处理，并重新设置步骤1)和步骤2)的参数，再进行步骤3)、4)、5)的操作。

对解空间厚度进行缩小处理，其实就是对输出结果的最优路径进行局部搜索。其方法是将搜索的厚度解空间围着最优膜系的光学厚度进行缩小。及进一步优化的厚度空间如下：

Ω_i＝[nd(i，j)×(1-ε)，nd(i，j)×(1+ε)]

其中，Ω_i为改变后的第i层膜的厚度解空间范围；nd(i，j)为最优膜系第i层的光学厚度值；ε为缩放系数，在区间内(0，1)进行取值。

令G_n＝G_n+1；如果输出膜系的评价函数F≤F_min或者G_n＞G_n max，G_n max为最大循环数，则进入步骤7)；否则，回到步骤6)；如果输出膜系的评价函数F≤F_min，则进入步骤7)，否则，回到步骤6)；

7)输出最优蚂蚁路径(最优膜系的光学厚度)。结束整个流程；

附图说明

图1为基于蚁群算法实现光学薄膜膜系设计构造图。

图2为基于蚁群算法实现光学薄膜膜系设计流程图。

图3为基于蚁群算法的可见光宽带增透膜系设计。其中第一幅图是设计的过程。图中“*”线表示蚁群中蚂蚁的平均评价函数随时间的变化；“-”线表示蚁群中最优蚂蚁的评价函数随时间的变化；第二幅图为设计结果。图中“*”为输出膜系在设计点上的剩余反射率；“-”为输出最优膜系的剩余反射率光谱曲线；“+”为设计点上的目标反射率；

具体实施方案

以下，结合发明内容，通过蚁群算法实现一个可见光波段的增透膜系，从而对本发明作进一步的描述。

a、建立目标曲线，设置如下：

1、设计点波长选取范围

λ＝[400，420，440，460，480，500，520，540，560，580，600，620，640，660，680，700，720]；

2、设计点波长所对应的剩余反射率和权重

R(λ)＝[0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0]；

ω(λ)＝[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]；

为了简化设计，设置各个波段的权重相同。

3、最小评价函数F_min＝0.01

b、相关蚁群参数的设置：σ_min＝0.001、G_max＝500、G_n max＝10；

c、解空间的设置：

1、确定膜系基本结构n＝[2.1，1.45，2.1，1.45，2.1，1.45]，为高低折射率交替的六层膜；高折射率为2.1的氧化钛，低折射率为1.45的氧化硅；

2、初始解空间，nd＝0～300nm，再根据基于蚁群算法实现光学薄膜膜系设计构造图所示进行解空间的离散化；

3、设置缩放系数ε＝0.2，对进一步优化路径空间的范围提供依据。

d、有关信息素更新的参数设置如下：

初始信息素值200；蒸发系数α＝-10；信息素增量系数β＝100；信息素衰减系数γ＝-1；

按照图2所示流程，对该可见光增透膜系进行自动优化设计，其结果如图3所示。

由图3可知，蚁群算法设计光学薄膜膜系的特点在于如下几点：

1、优化前期收敛速度快。由图3可知，在经过大概200秒(大概200个蚁群)蚁群的最优评价函数已经下降到趋于平坦。故蚁群算法设计光学薄膜膜系，在优化前期可以得到较为理想优化速度；

2、通过进一步优化后，即可得到较好膜系输出。由图3可知，经过两个循环即可达到优化目标；

3、蚁群算法得到的结果较之于常规膜系设计有更简单的结构，和更优的设计结果。常规优化设计实现宽带增透一般需要三种或者三种以上的材料来完成，基于蚁群算法的设计只需两种即可实现。并且得到的结果也较之于常规设计要好！

基于蚁群算法自动设计宽待光学增透膜系的结果如下：

输出膜系折射率：[1.38，2.35，1.38，2.35，1.38，2.35，1.38]

输出膜系光学厚度：[95.424，9.54，31.2，253.98，45.9，26.028，218.7]nm

膜系评价函数：F＝0.0099

输出方差：2.3708x10^-4。

Claims (7)

1.一种基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计方法，其基本特征在于，该方法包括如下步骤：

1)将各膜层厚度在其解空间Ω_i内进行离散化，并将这一系列的离散值映射到基于蚁群算法实现光学薄膜膜系设计构造图中；每个离散的节点对应于膜层中一个光学厚度值。

2)设定基于蚁群算法实现光学薄膜膜系设计构造图中的节点初始信息素矩阵P₀和P_ij。并同时进行相关优化初始参数的设定；最后设置当前蚁群个数G＝1，循环次数G_n＝1；

3)当前蚁群中的蚂蚁被按照一定的几率投放到起始层，并按照一定的几率向终止层进发。当前层到下一层的依据为当前节点上信息素矩阵P₀和P_i，j中的元素值。信息素矩阵中每个元素对应于该点到下层膜节点路径的信息素值。如果信息素值大，则该路径被选择的几率也就越大；每只蚂蚁从起始层到终止层的路径输出，就是一个光学膜系的输出；

4)计算当前蚁群中k只蚂蚁的评价函数，并将评价函数转换成信息素的增量Δp_k。如果评价函数越小，则Δp_k越大。设定当前节点其余路径的信息素的增量以其距离该路径的几何距离大小呈指数衰减，并对这些路径进行信息素更新；然后令k＝1～K，K为当前蚁群的蚂蚁个体个数。完成当前蚁群的信息素更新；

5)如果输出最优膜系的评价函数min(F_k)≤F_min，其中F_min为设定的收敛评价函数，则到步骤7)；否则，当前蚁群输出评价函数的方差σ_G≤σ_min，其中σ_min为设定的最小方差，或者当前计算的蚁群个数G＞G_max时，G_max为当前循环设定的最大蚁群数。则进入步骤6)，不然的话，令G＝G+1，并回到步骤3)；

6)令G＝1；根据步骤5)输出的最优膜系光学厚度，对当前的厚度空间进行缩小处理，并重新设置步骤1)和步骤2)的参数，再进行步骤3)、4)、5)的操作。令G_n＝G_n+1；如果输出膜系的评价函数F≤F_min或者G_n＞G_n max，G_n max为最大循环数，则进入步骤7)；否则，回到步骤6)；

7)输出最优膜系厚度。结束整个流程。

2.基于权利要求1所述的一种基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计，其特征在于：所述步骤1)中的构造图中，坐标为(i，j)的节点表示，折射率为ni的第i层膜的光学厚度为ndj。ndj为待求光学薄膜膜系的第i层薄膜厚度解空间中的一个值，在解空间Ω_i中取值。

3.基于权利要求1所述的一种基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计，其特征在于：所述步骤2)中，信息素P₀时起始层薄膜的信息素分布，它为一个1×m₁的矩阵。其中m₁为第一层的节点个数，其中每个元素值分别对应于选择第一层膜各个节点路径上的信息素值。信息素P_ij表示的是处于第i行，第j列的节点上的信息素分布，它为一个1×m_i+1的矩阵。其中m_i+1为第i+1层的节点个数，其中每个元素值分别对应于选择在当前节点上选择下一层膜各个节点路径上的信息素。i的取值范围为[1，N-1]，其中N为设定的膜层数；j的取值范围为[1，m_i]，m_i为第i层的节点数。以上各个信息素矩阵，在设计之初，要对其赋上初值，并在设计过程中不断地进行更新。

4.基于权利要求1所述的一种基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计，其特征在于：所述步骤3)中，当前蚂蚁首先依据信息素矩阵P₀，按一定几率到达第一层的节点(1，j1)确定第1层膜的厚度，即nd(1，j1)；然后再于(1，j1)节点，依据信息素矩阵P_1j1，按一定几率到达第2层的节点(2，j2)，确定第二层膜的的厚度，即nd(2，j2)，依次类推，直至到达第N层为止，结束该只蚂蚁的行程。其中N为设计膜系的层数；

第一层第j个节点的选择几率区间为[min_1，j，max_1，j)。它们分别为：

产生随机数rand1∈[0，1]，如果该随机数同时也满足rand1∈[min_1，j1，max_1，j1)，则第一行的j1节点被选择。同时输出该膜系第1行的光学厚度为nd(1，j1)。

则处于构造图中某个节点(i，ji)的蚂蚁到达下一层膜的第(i+1，j)节点的选择概率区间为[min_i+1，j，max_i+1，j)。它们分别为：

其中P_iji表示第i行，第ji列的节点信息素矩阵；产生随机数rand_i+1∈[0，1]，如果该随机数同时也满足则第i+1行的j_i+1节点被选择。同时输出该膜系第i+1行的光学厚度为nd(i+1，j+1)。

当蚂蚁从第一层走道第N层后，该只蚂蚁的行动结束。该只输出路径为：[(1，j1)，(2，j2)，......，(i，ji)，......(N，jN)]，则其输出膜系为：[nd(1，j1)，nd(2，j2)，……，nd(N，jN)]。

5.基于权利要求1所述的一种基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计，其特征在于：所述步骤4)中，由权利要求4可知，蚁群中单只蚂蚁的行进路径，该路径的选择由信息素的分布而决定，同时该路径也将作为更新节点信息素的依据。当前蚁群的第k只蚂蚁，其行经路径为[(1，j1)，(2，j2)，......，(i，ji)，......(N，jN)]。选择适当的评价函数结构并计算可得该只蚂蚁输出的膜系评价函数为F_k。则第i层信息素更新体现在信息素矩阵P_i，ji上，该信息素矩阵第j个元素的更新增量Δp_kj为：

其中，α为蒸发系数，为负值；β为信息素增量系数，为正值，其大小由评价函数取值范围来进行调节；γ为远离选择节点的信息素增量衰减系数，为负值；式e^γ×|j-j1|中j(i+1)为第i+1层的选择节点，在P_i，ji中信息素增量随着远离j(i+1)呈指数衰减。这是为了避免局部极值的过早出现而设。

P_i，ji最终更新结果为：

P_i，ji＝P_i，ji+Δp_k

上述讨论中，i为区间[1，N-1]中的整数；第一膜层的选择由信息素矩阵P₀确定，其增量和更新公式如下：

P₀＝P₀+Δp₀

其中γ为信息素衰减系数，仍为负值。

6.基于权利要求1所述的一种基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计，其特征在于：所述步骤5)中，当前蚁群的评价函数方差由如下公式表示：

其中E(F)为当前蚁群输出评价函数的平均值。

7.基于权利要求1所述的一种基于蚁群算法的光学薄膜膜系优化设计，其特征在于：所述步骤6)中，对输出结果的最优路径进行局部搜索。其方法是将搜索的厚度解空间依据最优膜系的光学厚度进行缩小。及进一步优化的厚度空间如下：

Ω_i＝[nd(i，j)×(1-ε)，nd(i，j)×(1+ε)]

其中，Ω_i为改变后的第i层膜的厚度解空间范围；nd(i，j)为最优膜系第i层的光学厚度值；ε为缩放系数，在区间内(0，1)进行取值。

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